Funkcja kwadratowa
Zadanie 23, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
- przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\),
- koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).
Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków.
**Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.**
*Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.*
Odpowiedź
Należy sprzedać \(115\) wiatraków. Największy tygodniowy zysk wynosi \(13\,055\text{ zł}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Zysk jest różnicą przychodu i kosztu:
\[Z(x)=P(x)-K(x)=251x-(x^2+21x+170)=-x^2+230x-170.\]
Dziedziną jest zbiór
\[x\in[0,150]\cap\mathbb Z.\]
Parabola ma ramiona skierowane w dół, a pierwsza współrzędna jej wierzchołka wynosi
\[x_w=-\frac{230}{2\cdot(-1)}=115.\]
Liczba \(115\) należy do dziedziny. Obliczamy zysk:
\[Z(115)=-115^2+230\cdot115-170=13\,055.\]
Największy zysk uzyskuje się przy sprzedaży \(115\) wiatraków.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia liczby wiatraków maksymalizującej zysk oraz wyniki \(x=115\) i \(Z(115)=13\,055\text{ zł}\)
**3 pkt** – zapisanie dziedziny \(x\in[0,150]\cap\mathbb Z\), obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka i stwierdzenie, że \(115\) należy do dziedziny
**2 pkt** – zapisanie \(Z(x)=-x^2+230x-170\)
**1 pkt** – zapisanie \(Z(x)=P(x)-K(x)\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
