Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, próbna styczeń 2005, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) dana jest wzorem
\[f(x)=x^3-6x^2+c\]
dla \(x\in\mathbb{R}\) i \(c\in\mathbb{R}\).
a) Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,3\rangle\), wiedząc, że \(f(0)=8\).
b) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji \(f\).
Odpowiedź
a) \(c=8\), więc \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+8\); w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) wartość największa to \(f(0)=8\), a najmniejsza to \(f(3)=-19\). b) Funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,0\rangle\) oraz w przedziale \(\langle4,+\infty)\), a maleje w przedziale \(\langle0,4\rangle\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Z warunku \(f(0)=8\) mam \(0^{3}-6\cdot0^{2}+c=8\), czyli \(c=8\). Zatem \(f(x)=x^{3}-6x^{2}+8\).
**Krok \(2\).** Obliczam pochodną: \[f'(x)=3x^{2}-12x=3x(x-4).\] Miejsca zerowe pochodnej to \(x=0\) oraz \(x=4\).
**Krok \(3\).** W przedziale \(\langle-1,3\rangle\) leży tylko jedno miejsce zerowe pochodnej: \(x=0\). Wartość największą i najmniejszą wybieram spośród wartości funkcji na końcach przedziału oraz w tym punkcie.
**Krok \(4\).** Obliczam: \(f(-1)=-1-6+8=1\), \(f(0)=8\), \(f(3)=27-54+8=-19\).
**Krok \(5\).** Największą wartością funkcji \(f\) w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) jest \(8\) (dla \(x=0\)), a najmniejszą \(-19\) (dla \(x=3\)).
**Krok \(6\).** Badam znak pochodnej w całym zbiorze \(\mathbb{R}\): \(f'(x)\gt0\) dla \(x\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)\) oraz \(f'(x)\lt0\) dla \(x\in(0,4)\).
**Odpowiedź.** \(c=8\); w przedziale \(\langle-1,3\rangle\) wartość największa wynosi \(f(0)=8\), a najmniejsza \(f(3)=-19\). Funkcja \(f\) rośnie w przedziale \((-\infty,0\rangle\) oraz w przedziale \(\langle4,+\infty)\), a maleje w przedziale \(\langle0,4\rangle\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – Badanie znaku pochodnej: \(f'(x)>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,0)\cup(4,\infty)\), \(f'(x)<0\Leftrightarrow x\in(0,4)\) (wystarczy gdy zdający poda zbiór, w którym pochodna jest dodatnia albo ujemna).
**2. (1 pkt)** – Podanie przedziałów monotoniczności funkcji: funkcja rośnie w przedziale \((-\infty,0)\) oraz w przedziale \((4,\infty)\), funkcja maleje w przedziale \((0,4)\). (nie przyznajemy punktu w przypadku stwierdzenia, że funkcja rośnie w sumie przedziałów).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
