Funkcja kwadratowa
Zadanie 34, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=x^2+bx+c.\]
Funkcja \(f\) nie ma miejsc zerowych. Wykaż, że
\[1+c>b.\]
Odpowiedź
\[1+c>b.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, a funkcja kwadratowa \(f\) nie ma miejsc zerowych. Jej wykres leży więc w całości nad osią \(Ox\), czyli \(f(x)>0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\). W szczególności dla \(x=-1\) mamy
\[f(-1)=(-1)^2-b+c=1-b+c>0.\]
Po przeniesieniu \(b\) na prawą stronę otrzymujemy
\[1+c>b,\]
co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu nierówności \(1+c>b\)
**1 pkt** – stwierdzenie, że \(f(x)>0\) dla każdego \(x\in\mathbb R\), i rozważenie wartości \(f(-1)\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
4.10 interpretowanie współczynników występujących we wzorze funkcji kwadratowej.
