Ciąg arytmetyczny
Zadanie 35, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest rosnący, a suma jego pięciu początkowych wyrazów jest równa \(10\). Wyrazy \(a_3\), \(a_5\), \(a_{13}\), w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu \((a_n)\).
Odpowiedź
\[a_n=3n-7.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. Suma pięciu początkowych wyrazów jest pięciokrotnością wyrazu środkowego, zatem
\[S_5=5a_3=10,\qquad a_3=2.\]
Mamy więc
\[a_5=a_3+2r=2+2r,\qquad a_{13}=a_3+10r=2+10r.\]
Liczby \(a_3,a_5,a_{13}\) tworzą ciąg geometryczny, dlatego
\[a_5^2=a_3a_{13}.\]
Stąd
\[(2+2r)^2=2(2+10r),\]
\[4+8r+4r^2=4+20r,\]
\[4r^2-12r=0,\qquad 4r(r-3)=0.\]
Otrzymujemy \(r=0\) lub \(r=3\). Ciąg jest rosnący, więc \(r>0\), a zatem \(r=3\). Ponieważ \(a_3=a_1+2r\), mamy
\[a_1=2-2\cdot3=-4.\]
Wobec tego
\[a_n=a_1+(n-1)r=-4+3(n-1)=3n-7.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – wyznaczenie wzoru \(a_n=3n-7\)
**4 pkt** – rozwiązanie równania i otrzymanie \(r=0\) lub \(r=3\)
**3 pkt** – ułożenie równania jednej niewiadomej \((2+2r)^2=2(2+10r)\)
**2 pkt** – wyznaczenie \(a_3=2\) oraz zapisanie warunku \(a_5^2=a_3a_{13}\)
**1 pkt** – zapisanie \(S_5=5a_3\) albo warunku geometryczności trzech wskazanych wyrazów
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3 i 5.4 stosowanie wzoru na wyraz i sumę ciągu arytmetycznego oraz własności wyrazów ciągu geometrycznego.
