Trójkąty
Zadanie 33, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
W czworokącie \(ABCD\) długości boków \(BC\), \(CD\) i \(AD\) są równe \(13\). Przekątna \(BD\) ma długość \(10\) i jest prostopadła do boku \(AD\) (zobacz rysunek). Oblicz pole czworokąta \(ABCD\).
Odpowiedź
\[P_{ABCD}=125.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przekątna \(BD\) dzieli czworokąt na trójkąty \(ABD\) i \(BCD\). Ponieważ \(BD\perp AD\),
\[P_{ABD}=\frac12\cdot |AD|\cdot|BD|=\frac12\cdot13\cdot10=65.\]
Trójkąt \(BCD\) jest równoramienny: \(|BC|=|CD|=13\), a jego podstawa ma długość \(10\). Wysokość opuszczona na \(BD\) dzieli tę podstawę na odcinki długości \(5\), więc
\[h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12.\]
Stąd
\[P_{BCD}=\frac12\cdot10\cdot12=60.\]
Pole czworokąta wynosi
\[P_{ABCD}=65+60=125.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie pola czworokąta: \(125\)
**1 pkt** – obliczenie wysokości trójkąta \(BCD\), równej \(12\), albo poprawne obliczenie pola jednego z trójkątów
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
G10.9 obliczanie pól trójkątów i czworokątów.
