Funkcja kwadratowa
Zadanie 20, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości \(200\text{ m}\). Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą. Na rysunku boki prostopadłe do brzegu oznaczono przez \(a\), a bok równoległy do brzegu przez \(b\).
**Oblicz wymiary \(a\) i \(b\) kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[a=50\text{ m},\qquad b=100\text{ m}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Długość liny daje zależność
\[2a+b=200,\qquad b=200-2a.\]
Pole kąpieliska jako funkcja \(a\) ma postać
\[P(a)=ab=a(200-2a)=-2a^2+200a,\qquad a\in(0,100).\]
Parabola jest skierowana ramionami w dół. Pierwsza współrzędna jej wierzchołka wynosi
\[a=-\frac{200}{2\cdot(-2)}=50.\]
Wtedy
\[b=200-2\cdot50=100.\]
Największą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach \(50\text{ m}\) i \(100\text{ m}\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda obliczenia obu wymiarów i wyniki \(a=50\text{ m}\), \(b=100\text{ m}\)
**3 pkt** – poprawny wzór na pole, dziedzina i wyznaczenie argumentu wierzchołka \(a=50\text{ m}\) albo \(b=100\text{ m}\)
**2 pkt** – poprawny wzór \(P(a)=a(200-2a)\) albo \(P(b)=b(100-\frac12b)\)
**1 pkt** – zapisanie związku \(2a+b=200\)
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III i IV dobieranie i tworzenie modeli matematycznych oraz stosowanie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
