Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 2, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem
\[f(x)=(1-x)(x+1)+2x.\]
Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).
Odpowiedź
\(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pytanie: pytamy o ZBIÓR WARTOŚCI funkcji. Wzór wygląda na iloczyn, ale po wymnożeniu okaże się, że \(f\) jest funkcją kwadratową. A dla funkcji kwadratowej zbiór wartości odczytujemy z rzędnej wierzchołka \(q\): przy ramionach w dół (\(a\lt0\)) jest to \((-\infty,q\rangle\), a przy ramionach w górę \(\langle q,+\infty)\). Plan: doprowadzić wzór do postaci ogólnej i policzyć \(q\).
**Krok \(2\).** Wymnażamy. W pierwszym składniku rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((1-x)(1+x)=1-x^2\):
\[f(x)=(1-x)(x+1)+2x=1-x^2+2x.\]
Po uporządkowaniu:
\[f(x)=-x^2+2x+1.\]
**Krok \(3\).** Odczytujemy współczynniki: \(a=-1\), \(b=2\), \(c=1\). Ponieważ \(a=-1\lt0\), ramiona paraboli są skierowane w dół, więc funkcja ma wartość NAJWIĘKSZĄ (w wierzchołku), a wartości najmniejszej nie ma.
**Krok \(4\).** Obliczamy odciętą wierzchołka:
\[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.\]
**Krok \(5\).** Obliczamy rzędną wierzchołka, podstawiając \(x=1\) do wzoru:
\[q=f(1)=-1^2+2\cdot1+1=-1+2+1=2.\]
(Można też ze wzoru \(q=-\frac{\Delta}{4a}\): \(\Delta=2^2-4\cdot(-1)\cdot1=8\), \(q=-\frac{8}{-4}=2\).)
**Krok \(6\).** Największą wartością funkcji jest \(2\), a wszystkie wartości mniejsze też są przyjmowane (parabola schodzi w dół do \(-\infty\)). Zatem zbiorem wartości jest \((-\infty,2\rangle\).
**Uwaga.** Liczba \(2\) NALEŻY do zbioru wartości — jest przyjmowana dokładnie dla \(x=1\) — więc nawias przy \(2\) musi być domknięty. Częstym błędem jest też podanie \(x_w=1\) jako odpowiedzi: pytamy o WARTOŚCI funkcji, czyli o \(y\), a nie o argumenty.
**Odpowiedź.** \(f(x)=-x^{2}+2x+1\), zbiór wartości funkcji \(f\) to \((-\infty,2\rangle\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – zapisanie wzoru funkcji kwadratowej \(f\) w postaci ogólnej: \(f(x)=-x^{2}+2x+1\).
**(1 pkt)** – obliczenie rzędnej wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\): \(y_{w}=2\).
**(1 pkt)** – wyznaczenie zbioru wartości funkcji \(f\): \((-\infty,\,2]\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
