Równania i nierówności
Zadanie 1, próbna czerwiec 2004, poziom podstawowy
Miejscem zerowym funkcji
\[f(x)=-3x+b\]
jest liczba \(\sqrt2\). Oblicz \(b\).
Odpowiedź
\(b=3\sqrt{2}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy pytanie o miejsce zerowe funkcji. Miejsce zerowe to taki argument \(x_0\), dla którego \(f(x_0)=0\). Skoro wiemy, że miejscem zerowym jest \(\sqrt2\), to po wstawieniu \(x=\sqrt2\) do wzoru musimy otrzymać zero — i to jest równanie na \(b\).
**Krok \(2\).** Podstawiamy \(x=\sqrt2\) do wzoru \(f(x)=-3x+b\) i przyrównujemy wynik do zera: \[-3\cdot\sqrt2+b=0.\]
**Krok \(3\).** Przenosimy wyraz z pierwiastkiem na drugą stronę równania: \[b=3\sqrt2.\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy: dla \(b=3\sqrt2\) mamy \(f(x)=-3x+3\sqrt2\), więc \(f(\sqrt2)=-3\sqrt2+3\sqrt2=0\) — istotnie \(\sqrt2\) jest miejscem zerowym.
**Uwaga.** Częsty błąd to potraktowanie liczby \(\sqrt2\) jako wartości funkcji i zapisanie \(\sqrt2=-3x+b\). Miejsce zerowe jest argumentem, więc wstawiamy je w miejsce \(x\), a po lewej stronie piszemy \(0\). Wyniku \(3\sqrt2\) nie trzeba (ani nie warto) zamieniać na przybliżenie dziesiętne.
**Odpowiedź.** \(b=3\sqrt{2}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**(1 pkt)** – zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć \(b\): \(0=-3\sqrt{2}+b\).
**(1 pkt)** – obliczenie \(b\): \(b=3\sqrt{2}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2002: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
