Inne zagadnienia
Zadanie 12.3, maj 2025, poziom podstawowy
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).
Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)-3\). Liczby \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\).
Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.
Suma \(x_{1}+x_{2}\) jest równa ... .
Odpowiedź
\[x_1+x_2=6.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe funkcji \(g\) spełniają równanie
\[g(x)=0\iff f(x)-3=0\iff f(x)=3.\]
Z rysunku odczytujemy, że parabola przechodzi przez punkt \((0,3)\), więc \(f(0)=3\) i liczba \(x_1=0\) jest jednym z miejsc zerowych funkcji \(g\).
Wykres funkcji kwadratowej jest symetryczny względem prostej pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Wierzchołek ma współrzędne \((3,6)\), więc osią symetrii jest prosta \(x=3\). Drugi argument o tej samej wartości funkcji jest obrazem \(x_1\) w symetrii względem tej prostej:
\[x_2=2\cdot3-0=6.\]
Ponieważ \(x_1\ne x_2\), są to dwa różne miejsca zerowe.
Stąd
\[x_1+x_2=0+6=6.\]
**Odpowiedź.** \(x_1+x_2=6\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: \(6\)
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 1. Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.
**Wymagania szczegółowe:**
V.12) Zdający na podstawie wykresu funkcji \(y=f(x)\) szkicuje wykres funkcji \(y=f(x)+b\);
V.4) Zdający odczytuje z wykresu funkcji miejsca zerowe.
