Funkcje
Zadanie 8, maj 2011, poziom rozszerzony
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(24\), jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Odpowiedź
Krawędź podstawy ma długość \(1\). Jeśli a oznacza krawędź podstawy, a \(h\) krawędź boczną, to \(12a\)+\(6h\)=\(24\), czyli \(h\)=\(4\)−\(2a\). Pole powierzchni bocznej jest równe P(a)=\(6ah\)=−\(12\)\(a^{2}\)+\(24a\) dla a∈(\(0\),\(2\)). Funkcja osiąga maksimum w wierzchołku paraboli, dla a=\(1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie optymalizacyjne: mamy dwie zmienne (krawędź podstawy i krawędź boczna) związane jednym warunkiem, a szukamy największej wartości pola. Schemat jest stały: oznaczyć zmienne, z warunku wyznaczyć jedną przez drugą, zapisać pole jako funkcję jednej zmiennej i znaleźć jej maksimum. Tu funkcja okaże się kwadratowa, więc wystarczy wierzchołek paraboli.
**Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(a\) długość krawędzi podstawy, a przez \(h\) długość krawędzi bocznej. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma dwie podstawy będące sześciokątami foremnymi (razem \(12\) krawędzi długości \(a\)) oraz \(6\) krawędzi bocznych długości \(h\).
**Krok \(3\).** Warunek na sumę długości wszystkich krawędzi:
\[12a+6h=24,\qquad\text{czyli}\qquad 2a+h=4,\qquad h=4-2a.\]
**Krok \(4\).** Ustalamy dziedzinę. Musi być \(a\gt0\) oraz \(h\gt0\), czyli \(4-2a\gt0\), a stąd \(a\lt2\). Zatem \(a\in(0,2)\).
**Krok \(5\).** Powierzchnia boczna składa się z sześciu prostokątów o wymiarach \(a\times h\), więc
\[P=6ah.\]
**Krok \(6\).** Podstawiamy \(h=4-2a\), aby otrzymać funkcję jednej zmiennej:
\[P(a)=6a(4-2a)=24a-12a^2.\]
**Krok \(7\).** To funkcja kwadratowa o współczynniku \(-12\lt0\), więc jej wykresem jest parabola ramionami w dół i największą wartość przyjmuje w wierzchołku:
\[a=-\frac{24}{2\cdot(-12)}=1.\]
**Krok \(8\).** Sprawdzamy, że \(a=1\) należy do dziedziny \((0,2)\) — należy. Wtedy \(h=4-2\cdot1=2\), a największe pole boczne wynosi \(P=6\cdot1\cdot2=12\).
**Uwaga.** Pytanie dotyczy długości krawędzi podstawy, a nie największego pola ani krawędzi bocznej — odpowiedzią jest liczba \(1\). Pamiętaj też, że podstawy są dwie, więc krawędzi podstawy jest \(12\), a nie \(6\).
**Odpowiedź.** Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość \(a=1\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wprowadzenie oznaczeń i zapisanie, że \(12a+6h=24\).
**2 pkt** – zapisanie pola \(P\) powierzchni bocznej graniastosłupa oraz wyznaczenie \(a\) lub \(h\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(P=6ah\) oraz \(a=2-\frac{h}{2}\) lub \(h=4-2a\).
**3 pkt** – zapisanie pola powierzchni bocznej w zależności od jednej zmiennej.
**4 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy graniastosłupa, którego pole powierzchni bocznej jest największe: \(a=1\).
Uwaga: jeżeli zdający wyznaczy tylko wartość \(h=2\), dla której pole powierzchni bocznej jest największe, to otrzymuje \(3\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
III. Modelowanie matematyczne. Znalezienie związków miarowych w graniastosłupie, wyznaczenie największej wartości funkcji.
