Zadanie 9 – matura z matematyki maj 2011, poziom rozszerzony

Takich liczb jest \(192080\). Miejsca dla dwóch dwójek wybieramy na \(\binom{8}{2}=28\) sposobów, miejsca dla trzech trójek na \(\binom{6}{3}=20\) sposobów, a każde z pozostałych trzech miejsc wypełniamy jedną z siedmiu cyfr \(1,4,5,6,7,8,9\), co daje \(28\cdot20\cdot7^3=192080\).

**Krok \(1\).** To zadanie na zliczanie. Budujemy liczbę ośmiocyfrową, czyli osiem miejsc, na których stawiamy cyfry. Warunki są takie: dwa miejsca zajmują dwójki, trzy miejsca zajmują trójki, a na pozostałych trzech miejscach stoją cyfry inne niż \(0\), \(2\) i \(3\). Metoda: najpierw wybieramy miejsca dla dwójek, potem miejsca dla trójek, potem wypełniamy resztę, a wyniki mnożymy. **Krok \(2\).** Wybór miejsc dla dwóch dwójek. Wybieramy \(2\) miejsca spośród \(8\), a kolejność wyboru nie ma znaczenia (obie cyfry są takie same), więc jest to kombinacja: \[\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28.\] **Krok \(3\).** Wybór miejsc dla trzech trójek. Zostało \(6\) wolnych miejsc, wybieramy z nich \(3\): \[\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.\] **Krok \(4\).** Pozostałe trzy miejsca. Zero jest wykluczone przez treść, a dwójki i trójki mamy już wykorzystane w komplecie, więc na każdym z tych miejsc może stanąć jedna z cyfr \(1,4,5,6,7,8,9\), czyli siedem możliwości. Miejsca wypełniamy niezależnie: \[7^3=343.\] **Krok \(5\).** Reguła mnożenia — kolejne, niezależne decyzje mnożymy przez siebie: \[28\cdot20\cdot343.\] **Krok \(6\).** Liczymy: \(28\cdot20=560\), a następnie \[560\cdot343=560\cdot300+560\cdot43=168000+24080=192080.\] **Uwaga.** Sformułowanie, że w zapisie występują dwie dwójki i trzy trójki, rozumiemy jako dokładnie tyle — dlatego na trzech wolnych miejscach nie wolno postawić już ani \(2\), ani \(3\). Gdyby dopuścić więcej dwójek lub trójek, wynik byłby inny. Zera nie używamy w ogóle, więc problem pierwszej cyfry tu nie występuje. **Odpowiedź.** Takich liczb jest \(192080\).

**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania** – obliczenie liczby miejsc, na których mogą znajdować się dwójki, albo obliczenie liczby miejsc, na których mogą znajdować się trójki, albo obliczenie, na ile sposobów \([\ldots]\) zapełnić trzy pozostałe miejsca. **3 pkt** – obliczenie obu wielkości: liczby miejsc, na których mogą znajdować się dwójki, i liczby miejsc, na których mogą znajdować się trójki. **4 pkt** – obliczenie liczby ciągów na pozostałych miejscach i obliczenie, że jest \(192080\) szukanych liczb. Za rozwiązanie \(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 7^{3}\) zdający otrzymuje \(0\) punktów. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie: ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują co najmniej dwie dwójki i występują co najmniej trzy trójki, to otrzymuje \(4\) punkty (poprawny wynik: \(247240\)).

IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.