Okręgi i koła
Zadanie 7, maj 2011, poziom rozszerzony
Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu
\[x^2+y^2+2x-2y-3=0\]
poprowadzonymi przez punkt \(A=(2,0)\).
Odpowiedź
Kąt między stycznymi ma miarę \(90^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
Sprowadzamy równanie okręgu do postaci kanonicznej:
\[x^2+y^2+2x-2y-3=0,\qquad (x+1)^2+(y-1)^2=5,\]
więc \(S=(-1,1)\) i \(r=\sqrt5\).
Odległość punktu \(A=(2,0)\) od środka:
\[\lvert SA\rvert=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}>\sqrt5,\]
więc \(A\) leży na zewnątrz okręgu i istnieją dwie styczne.
Niech \(B\) będzie punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt \(ABS\) jest prostokątny przy \(B\) i
\[\sin\lvert\angle BAS\rvert=\frac{r}{\lvert SA\rvert}=\frac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \lvert\angle BAS\rvert=45^\circ.\]
Prosta \(AS\) zawiera dwusieczną kąta między stycznymi, zatem szukany kąt ma miarę
\[2\cdot45^\circ=90^\circ.\]
Kontrola drugą metodą: styczne przechodzące przez \(A\) mają równania \(y=a(x-2)\); warunek styczności prowadzi do równania \(2a^2+3a-2=0\) o pierwiastkach \(a_1=-2\) i \(a_2=\frac12\). Ponieważ \(a_1a_2=-1\), proste są prostopadłe.
**Odpowiedź.** Kąt między stycznymi ma miarę \(90^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie środka \(S=(-1,1)\) i promienia \(r=\sqrt5\) oraz odległości \(\lvert SA\rvert=\sqrt{10}\).
**3 pkt** – zapisanie zależności pozwalającej wyznaczyć kąt, np. \(\sin\lvert\angle BAS\rvert=\frac{r}{\lvert SA\rvert}\).
**4 pkt** – obliczenie miary kąta równej \(90^\circ\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu.
