Liczby rzeczywiste
Zadanie 9, maj 2008, poziom podstawowy
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej
\[f(x)=(2x+1)(x-2)\]
w przedziale \(\langle-2,2\rangle\).
Odpowiedź
Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy typ zadania: szukamy wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej w PRZEDZIALE DOMKNIĘTYM. Kandydaci są tylko trzej: wierzchołek paraboli (o ile jego odcięta należy do przedziału) oraz dwa końce przedziału. Zaczynamy od doprowadzenia wzoru do postaci ogólnej, bo z niej odczytamy współczynniki \(a\), \(b\), \(c\).
**Krok \(2\).** Wymnażamy nawiasy:
\[f(x)=(2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2.\]
Zatem \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-2\).
**Krok \(3\).** Ponieważ \(a=2\gt 0\), ramiona paraboli są skierowane w górę. Wierzchołek jest więc punktem, w którym funkcja przyjmuje wartość NAJMNIEJSZĄ, a wartości największych szukamy na końcach przedziału.
**Krok \(4\).** Liczymy odciętą wierzchołka:
\[x_w=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy \(x_w\) należy do przedziału: \(\frac34\in\langle-2,2\rangle\) — tak. Wobec tego minimum funkcji w tym przedziale jest osiągane właśnie w wierzchołku.
**Krok \(6\).** Liczymy rzędną wierzchołka. Najpierw \(\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25\), a stąd
\[y_w=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-25}{8}.\]
(Można też podstawić bezpośrednio: \(f\left(\frac34\right)=2\cdot\frac{9}{16}-3\cdot\frac34-2=\frac98-\frac{18}{8}-\frac{16}{8}=-\frac{25}{8}\).)
**Krok \(7\).** Liczymy wartości na końcach przedziału — najwygodniej z postaci iloczynowej:
\[f(-2)=(2\cdot(-2)+1)(-2-2)=(-3)\cdot(-4)=12,\qquad f(2)=(2\cdot 2+1)(2-2)=5\cdot 0=0.\]
**Krok \(8\).** Porównujemy kandydatów: \(-\frac{25}{8}=-3{,}125\), \(12\) oraz \(0\). Najmniejsza wartość to \(-\frac{25}{8}\) (dla \(x=\frac34\)), największa to \(12\) (dla \(x=-2\)).
**Uwaga.** Dwie rzeczy decydują tu o punktach. Po pierwsze, trzeba SPRAWDZIĆ, czy \(x_w\) należy do przedziału — gdyby wypadł poza nim, obie skrajne wartości byłyby na końcach przedziału. Po drugie, przy ramionach skierowanych w górę wierzchołek nigdy nie daje wartości największej — tej trzeba szukać na końcach, i to na obu, bo wierzchołek nie leży w środku przedziału.
**Odpowiedź.** Najmniejsza wartość: \(f\left(\frac34\right)=-\frac{25}{8}\); największa wartość: \(f(-2)=12\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Zapisuję wzór funkcji w postaci ogólnej \(f(x)=2x^{2}-3x-2\).
Wyznaczam odciętą wierzchołka paraboli: \(x_{w}=\frac{-b}{2a}=\frac{3}{4}\).
Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału \(\langle-2,2\rangle\), więc najmniejszą wartością funkcji \(f\) w tym przedziale jest druga współrzędna wierzchołka: \(y_{w}=\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{25}{8}\).
Obliczam wartości funkcji na końcach przedziału: \(f(-2)=12\), \(f(2)=0\).
Największą wartością funkcji \(f\) w podanym przedziale jest \(f(-2)=12\).
Odpowiedź: Najmniejszą wartością funkcji w podanym przedziale jest \(y_{w}=-\frac{25}{8}\), a największą \(f(-2)=12\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
