Równania i nierówności
Zadanie 5, maj 2008, poziom podstawowy
Nieskończony ciąg liczbowy \((a_n)\) jest określony wzorem
\[a_n=2-\frac1n,\qquad n=1,2,3,\ldots\]
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu \((a_n)\) jest mniejszych od \(1{,}975\).
b) Dla pewnej liczby \(x\) trzywyrazowy ciąg \((a_2,a_7,x)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(x\).
Odpowiedź
a) \(39\) wyrazów (o numerach \(n=1,2,\ldots,39\)). b) \(x=\dfrac{31}{14}\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy dwa niezależne wątki. W podpunkcie a) pytanie „ile wyrazów jest mniejszych od…” to nierówność \(a_n\lt1{,}975\) z niewiadomą naturalną \(n\) — rozwiązujemy ją, a potem ZLICZAMY pasujące liczby naturalne. W podpunkcie b) korzystamy z podstawowej własności ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów, czyli \(2a_7=a_2+x\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy nierówność z podpunktu a):
\[2-\frac1n\lt1{,}975.\]
Przenosimy \(2\) na prawą stronę:
\[-\frac1n\lt-0{,}025,\]
a po pomnożeniu obu stron przez \(-1\) (zmieniamy zwrot nierówności):
\[\frac1n\gt0{,}025.\]
**Krok \(3\).** Zamieniamy \(0{,}025\) na ułamek zwykły:
\[0{,}025=\frac{25}{1000}=\frac{1}{40}.\]
Mamy więc \(\dfrac1n\gt\dfrac1{40}\). Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną dodatnią, obie strony są dodatnie i możemy skorzystać z tego, że im większy mianownik, tym mniejszy ułamek. Zatem \(n\lt40\).
**Krok \(4\).** Zliczamy liczby naturalne spełniające \(1\leqslant n\lt40\): są to \(n=1,2,3,\ldots,39\), czyli \(39\) wyrazów.
**Krok \(5\).** Podpunkt b): ciąg \((a_2,a_7,x)\) jest arytmetyczny, więc środkowy wyraz jest średnią pozostałych:
\[a_7=\frac{a_2+x}{2}\quad\Longrightarrow\quad x=2a_7-a_2.\]
**Krok \(6\).** Obliczamy potrzebne wyrazy z wzoru \(a_n=2-\dfrac1n\):
\[a_2=2-\frac12=\frac32,\qquad a_7=2-\frac17=\frac{13}{7}.\]
**Krok \(7\).** Podstawiamy:
\[x=2\cdot\frac{13}{7}-\frac32=\frac{26}{7}-\frac32=\frac{52}{14}-\frac{21}{14}=\frac{31}{14}.\]
**Uwaga.** W podpunkcie a) pytanie brzmi ILE wyrazów, a nie „dla jakich \(n\)”. Odpowiedzią jest więc liczba \(39\), a nie nierówność \(n\lt40\) — łatwo tu też pomylić się o jeden, bo numeracja zaczyna się od \(n=1\), a nie od \(n=0\). Zauważmy przy okazji, że sam wyraz o numerze \(40\) wynosi \(2-\frac1{40}=1{,}975\), czyli jest RÓWNY granicznej wartości, a więc nie jest od niej mniejszy.
**Odpowiedź.** a) \(39\) wyrazów (o numerach \(n=1,2,\ldots,39\)). b) \(x=\dfrac{31}{14}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
a) Rozwiązuję nierówność \(2-\frac{1}{n}<1{,}975\).
Przekształcam ją do postaci równoważnej \(\frac{1}{n}>0{,}025\). Nierówność tę zapisuję w postaci \(\frac{1}{n}>\frac{1}{40}\). Jest ona spełniona gdy: \(n<40\).
Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, więc odpowiedź jest następująca: \(39\) wyrazów danego ciągu to liczby mniejsze od \(1{,}975\).
b) Korzystam ze związku między sąsiednimi wyrazami w ciągu arytmetycznym i zapisuję równanie: \(\frac{a_{2}+x}{2}=a_{7}\), czyli \(x=2a_{7}-a_{2}\).
Obliczam potrzebne wyrazy: \(a_{2}=\frac{3}{2}\), \(a_{7}=\frac{13}{7}\).
Wstawiam obliczone wartości do równania i otrzymuję \(x=2\cdot\frac{13}{7}-\frac{3}{2}=\frac{31}{14}\).
Odpowiedź: Trzywyrazowy ciąg \((a_{2},a_{7},x)\) jest arytmetyczny dla \(x=\frac{31}{14}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
