Zadanie 10 – matura z matematyki maj 2008, poziom podstawowy

a) \(a=10\), czyli \(h(x)=\frac{10}{x}\); b) liczba \(h(\pi)-h(-\pi)=\frac{20}{\pi}\) jest dodatnia; c) \(x\in(0,2)\).

**Krok \(1\).** Rozpoznajemy funkcję. Wzór \(h(x)=\frac{a}{x}\) to proporcjonalność odwrotna, a jej wykresem jest hiperbola o dwóch gałęziach. Skoro podano punkt należący do wykresu, to współczynnik \(a\) wyznaczymy, wstawiając współrzędne tego punktu do wzoru. **Krok \(2\).** Podpunkt a). Punkt \(P=(2,5)\) należy do wykresu, więc \(h(2)=5\), czyli \[5=\frac{a}{2},\qquad a=10.\] Zatem \(h(x)=\frac{10}{x}\). **Krok \(3\).** Podpunkt b). Liczymy obie wartości: \[h(\pi)=\frac{10}{\pi},\qquad h(-\pi)=\frac{10}{-\pi}=-\frac{10}{\pi}.\] **Krok \(4\).** Odejmujemy: \[h(\pi)-h(-\pi)=\frac{10}{\pi}-\left(-\frac{10}{\pi}\right)=\frac{20}{\pi}.\] Ponieważ \(\pi\gt 0\), liczba \(\frac{20}{\pi}\) jest dodatnia. (Ten sam wniosek widać z wykresu: dla \(x\gt 0\) wykres leży nad osią \(Ox\), a dla \(x\lt 0\) pod nią, więc \(h(\pi)\gt 0\) i \(h(-\pi)\lt 0\), a różnica liczby dodatniej i ujemnej jest dodatnia.) **Krok \(5\).** Podpunkt c). Rozwiązujemy \(\frac{10}{x}\gt 5\). Nie wolno pomnożyć obu stron przez \(x\), bo nie wiemy, jaki jest jego znak — mnożenie przez liczbę ujemną odwróciłoby nierówność. Rozpatrujemy więc dwa przypadki. **Krok \(6\).** Przypadek \(x\gt 0\): mnożymy przez \(x\) bez zmiany zwrotu i dostajemy \(10\gt 5x\), czyli \(x\lt 2\). Łącznie z założeniem: \(x\in(0,2)\). **Krok \(7\).** Przypadek \(x\lt 0\): wtedy \(\frac{10}{x}\lt 0\), a liczba ujemna nigdy nie jest większa od \(5\) — brak rozwiązań. **Krok \(8\).** Zbiór rozwiązań to \(x\in(0,2)\). To samo można odczytać z wykresu: nad prostą \(y=5\) leży tylko ten fragment gałęzi, który znajduje się na lewo od punktu \(P=(2,5)\) i na prawo od osi \(Oy\). **Uwaga.** Dwie pułapki. Po pierwsze, w nierówności z niewiadomą w mianowniku trzeba pamiętać o dziedzinie \(x\neq 0\) i o rozbiciu na przypadki (albo skorzystać z wykresu). Po drugie, końce przedziału nie należą do rozwiązania: nierówność jest ostra, a \(x=0\) nie należy do dziedziny. **Odpowiedź.** a) \(a=10\), czyli \(h(x)=\frac{10}{x}\); b) liczba \(h(\pi)-h(-\pi)=\frac{20}{\pi}\) jest dodatnia; c) \(x\in(0,2)\).

*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.* a) Korzystam z faktu, że punkt \(P=(2,5)\) należy do wykresu funkcji \(h\) i wyznaczam współczynnik \(a\): \(5=\frac{a}{2}\) stąd \(a=10\). Funkcja \(h\) jest dana wzorem: \(h(x)=\frac{10}{x}\). b) Z wykresu odczytuję, że \(h(-\pi)<0\), natomiast \(h(\pi)>0\). Stąd wynika, że \(h(\pi)-h(-\pi)\) jest liczbą dodatnią. Z informacji podanej w zadaniu wiem, że wykres funkcji \(h\) przechodzi przez punkt \(P=(2,5)\). Odczytuję rozwiązanie nierówności \(h(x)>5\) z wykresu: jest to przedział \((0,2)\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.