Funkcja kwadratowa
Zadanie 8, maj 2002, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^{2}+bx-3\), gdzie \(b>0\), posiada dwa różne miejsca zerowe, których iloczyn jest równy \(-3\). Wiedząc, że funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość równą \(-4\), wyznacz:
a) współczynniki \(a\) i \(b\),
b) miejsca zerowe funkcji \(f\).
Odpowiedź
a) \(a=1\), \(b=2\), czyli \(f(x)=x^{2}+2x-3\); b) \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ze wzorów Viety iloczyn miejsc zerowych jest równy \(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{a}\). Z warunku \(x_{1}x_{2}=-3\) otrzymujemy \(\frac{-3}{a}=-3\), zatem \(a=1\).
**Krok \(2\).** Ponieważ \(a=1\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane do góry, więc funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą drugiej współrzędnej wierzchołka: \[q=-\frac{\Delta}{4a}=-4\quad\Longrightarrow\quad \Delta=16a=16.\]
**Krok \(3\).** Obliczamy wyróżnik: \(\Delta=b^{2}-4a\cdot(-3)=b^{2}+12\). Stąd \(b^{2}+12=16\), czyli \(b^{2}=4\), a wobec warunku \(b\gt 0\) mamy \(b=2\). Ponadto \(\Delta=16\gt 0\), więc funkcja rzeczywiście ma dwa różne miejsca zerowe.
**Krok \(4\).** Zatem \(f(x)=x^{2}+2x-3\) oraz \[x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm 4}{2},\] czyli \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\). Sprawdzenie: \(x_{1}x_{2}=-3\), a wartość najmniejsza to \(f(-1)=-4\).
**Odpowiedź.** \(a=1\), \(b=2\); miejsca zerowe: \(x_{1}=-3\), \(x_{2}=1\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**8.1. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(a\): \(-\frac{3}{a}=-3\)
**8.2. (1 pkt)** – zapisanie warunku pozwalającego wyznaczyć \(b\): \(-\frac{\Delta}{4a}=-4\)
**8.3. (1 pkt)** – wyznaczenie \(a\): \(a=1\)
**8.4. (1 pkt)** – wyznaczenie \(b\): \(b=2\)
**8.5. (1 pkt)** – obliczenie miejsc zerowych funkcji \(f\): \(x_{1}=-3,\; x_{2}=1\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
