Trójkąty
Zadanie 9, maj 2002, poziom podstawowy
Zaplanowano zalesić ugór w kształcie trójkąta równoramiennego, którego długość najdłuższego boku, na planie w skali \(1:1500\), jest równa \(12\) cm i jeden z kątów ma miarę \(120^{\circ}\). W szkółce leśnej zamówiono sadzonki w ilości pozwalającej obsadzić obszar wielkości \(40\) arów. Oblicz, czy zamówiona ilość sadzonek jest wystarczająca do zalesienia ugoru.
Odpowiedź
Pole ugoru wynosi \(27\sqrt{3}\) a, czyli więcej niż \(40\) a. Zamówiona liczba sadzonek jest niewystarczająca.
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie równoramiennym kąt \(120^\circ\) musi leżeć między ramionami — dwa kąty po \(120^\circ\) dałyby sumę większą niż \(180^\circ\). Naprzeciw tego kąta leży najdłuższy bok, czyli podstawa.
Na planie podstawa ma \(12\) cm. Ramię \(r\) wyznaczamy z twierdzenia cosinusów:
\[12^2=r^2+r^2-2r^2\cos120^\circ=3r^2,\qquad r=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.\]
Pole trójkąta na planie:
\[P_{pl}=\tfrac12 r^2\sin120^\circ=\tfrac12\cdot48\cdot\frac{\sqrt3}{2}=12\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.\]
Skala \(1:1500\) dotyczy długości, więc pola rosną w skali \(1500^2\):
\[P=12\sqrt3\cdot1500^2\ \mathrm{cm}^2=27\,000\,000\sqrt3\ \mathrm{cm}^2=2700\sqrt3\ \mathrm{m}^2.\]
Ponieważ \(1\) ar \(=100\ \mathrm{m}^2\), pole ugoru wynosi \(27\sqrt3\) arów, czyli około \(46{,}77\) ara.
**Odpowiedź.** \(27\sqrt3\ \mathrm{a}\approx46{,}8\ \mathrm{a}>40\ \mathrm{a}\), więc zamówione sadzonki nie wystarczą do zalesienia całego ugoru.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**9.1. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinków potrzebnych do obliczenia pola działki na planie
**9.2. (1 pkt)** – obliczenie pola działki na planie: \(P=12\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^{2}\)
**9.3. (1 pkt)** – obliczenie pola działki w rzeczywistości: \(P=27\cdot 10^{6}\sqrt{3}\,\mathrm{cm}^{2}\)
**9.4. (1 pkt)** – zamiana jednostek: np. \(P=27\sqrt{3}\,\mathrm{a}\)
**9.5. (1 pkt)** – porównanie \(40\) arów z polem działki i stwierdzenie, że ilość sadzonek jest niewystarczająca: \(27\sqrt{3}\gt 40\)
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
