Optymalizacja
Zadanie 11, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(500+50x)(16-x)\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \([0,14]\) jest równa
**A.** \(f(3)\)
**B.** \(f(4)\)
**C.** \(f(7)\)
**D.** \(f(14)\)
Odpowiedź
**A.** \(f(3)\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy wzór funkcji:
\[f(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^{2}=-50x^{2}+300x+8000.\]
Współczynnik przy \(x^{2}\) jest ujemny, więc parabola ma ramiona skierowane w dół, a funkcja rośnie na \((-\infty,x_w\rangle\) i maleje na \(\langle x_w,+\infty)\), gdzie
\[x_w=-\frac{300}{2\cdot(-50)}=3.\]
Argument \(x_w=3\) należy do przedziału \([0,14]\), więc wartość największa w tym przedziale jest przyjmowana właśnie w wierzchołku. Gdyby wierzchołek leżał poza przedziałem, największej wartości należałoby szukać na jednym z jego krańców.
**Odpowiedź.** A. \(f(3)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: 4.11) Wyznacza wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.
