Trójkąty
Zadanie 11, czerwiec 2012, poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa \(ABCS\) jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym
\[|AB|=30,\qquad |BC|=|AC|=39,\]
i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) ma długość \(26\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=4320.\]
Pole podstawy o bokach \(39\), \(39\), \(30\) jest równe \(540\), a promień okręgu wpisanego w podstawę wynosi \(10\). Z wysokości ściany bocznej równej \(26\) otrzymujemy wysokość ostrosłupa \(H=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=24\).
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkie wysokości ścian bocznych poprowadzone z \(S\) są równe, więc spodek wysokości ostrosłupa jest jednakowo oddalony od wszystkich krawędzi podstawy — jest to środek okręgu wpisanego w podstawę.
Pole podstawy: wysokość opuszczona z \(C\) na \(AB\) wynosi
\[h=\sqrt{39^2-15^2}=\sqrt{1521-225}=36,\qquad P_p=\tfrac12\cdot30\cdot36=540.\]
Połowa obwodu podstawy:
\[p=\frac{30+39+39}{2}=54,\qquad r=\frac{P_p}{p}=\frac{540}{54}=10.\]
Wysokość ściany bocznej, promień okręgu wpisanego i wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny, więc
\[H=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24.\]
Objętość:
\[V=\tfrac13\cdot540\cdot24=4320.\]
**Odpowiedź.** \(V=4320\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – obliczenie pola podstawy \(P_p=540\) i promienia okręgu wpisanego \(r=10\).
**3–4 pkt** – uzasadnienie, że spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego, i obliczenie \(H=24\).
**5 pkt** – obliczenie objętości \(V=4320\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV.9.b).
