Funkcja kwadratowa
Zadanie 10, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku równym \(2\). Na bokach \(BC\) i \(CD\) wybrano odpowiednio punkty \(E\) i \(F\), różne od wierzchołków kwadratu, takie że \(|CE|=|DF|=x\). Oblicz wartość \(x\), dla której pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze, i oblicz to pole.
Odpowiedź
\(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) wynosi \(\dfrac32\). Odejmując od pola kwadratu pola trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\), otrzymujemy \(P(x)=\dfrac{x^2}{2}-x+2\) dla \(x\in(0,2)\); wierzchołek tej paraboli ma odciętą \(x=1\), a \(P(1)=\dfrac32\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Trójkąt \(AEF\) ma wierzchołki na trzech różnych bokach kwadratu, więc jego pola nie policzymy jednym prostym wzorem. Odejmiemy od pola kwadratu pola trzech trójkątów prostokątnych przylegających do jego wierzchołków: \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\). Otrzymamy funkcję kwadratową zmiennej \(x\) i znajdziemy jej wierzchołek.
**Krok \(2\).** Oznaczenia. Bok kwadratu ma długość \(2\), a \(|CE|=|DF|=x\), więc
\[|CF|=|CD|-|DF|=2-x,\qquad |BE|=|BC|-|CE|=2-x.\]
Ponieważ punkty \(E\) i \(F\) są różne od wierzchołków, mamy \(x\in(0,2)\).
**Krok \(3\).** Pola trzech trójkątów prostokątnych:
\[P_{ADF}=\tfrac12\cdot|AD|\cdot|DF|=\tfrac12\cdot2\cdot x=x,\]
\[P_{ABE}=\tfrac12\cdot|AB|\cdot|BE|=\tfrac12\cdot2\cdot(2-x)=2-x,\]
\[P_{CEF}=\tfrac12\cdot|CE|\cdot|CF|=\tfrac12\,x(2-x)=x-\tfrac{x^2}{2}.\]
**Krok \(4\).** Pole kwadratu wynosi \(2^2=4\), więc
\[P(x)=4-x-(2-x)-\left(x-\frac{x^2}{2}\right).\]
**Krok \(5\).** Porządkujemy:
\[P(x)=4-x-2+x-x+\frac{x^2}{2}=\frac{x^2}{2}-x+2.\]
**Krok \(6\).** Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(\tfrac12\gt0\), więc ramiona paraboli są skierowane w górę i najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku:
\[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot\tfrac12}=1.\]
Liczba \(1\) należy do przedziału \((0,2)\), więc jest dopuszczalna.
**Krok \(7\).** Obliczamy najmniejsze pole:
\[P(1)=\frac{1}{2}-1+2=\frac32.\]
**Uwaga.** Zadanie prosi o dwie rzeczy: o wartość \(x\) oraz o samo pole. Podanie tylko \(x=1\) nie jest pełną odpowiedzią.
**Odpowiedź.** \(x=1\), a najmniejsze pole trójkąta \(AEF\) jest równe \(\dfrac32\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
**Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania** – zapisanie, że \(P_{AEF}=P_{ABCD}-\left(P_{ADF}+P_{CEF}+P_{ABE}\right)\) lub \(P_{AEF}=P_{ABCD}-P_{ADF}-P_{CEF}-P_{ABE}\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie pól trójkątów \(ADF\), \(CEF\) i \(ABE\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zapisanie \(P_{AEF}\) jako funkcji \(x\): \(P(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+2\).
**Rozwiązanie pełne** – wyznaczenie \(x\), dla którego funkcja przyjmuje minimum: \(x=1\); obliczenie pola trójkąta \(AEF\): \(P=1\frac{1}{2}\).
Uwagi: jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu sumy pól trójkątów \(ADF\), \(ABE\) i \(CEF\) i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje \(4\) punkty. Jeżeli zdający popełni błąd w obliczeniu odciętej wierzchołka paraboli i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta \(AEF\), to otrzymuje \(4\) punkty. Nie wymagamy uzasadnienia, że dla znalezionej wartości \(x=1\) funkcja przyjmuje minimum. Jeżeli zdający wyznaczy wartość \(x\), dla której pole trójkąta \(AEF\) jest najmniejsze i nie obliczy pola tego trójkąta, to otrzymuje \(4\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: opisanie pola figury funkcją kwadratową i wyznaczenie minimum.
