Trójkąty
Zadanie 9, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Przekątne trapezu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(P\). Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt \(P\), przecina ramiona \(AD\) i \(BC\) odpowiednio w punktach \(M\) i \(N\). Wykaż, że \(|MP|=|NP|\).
Odpowiedź
Trójkąty ABD i MPD są podobne, więc MP/AB=MD/AD. Trójkąty ABC i PNC są podobne, więc PN/AB=NC/BC. Z twierdzenia Talesa dla trzech prostych równoległych AB, MN i CD mamy MD/AD=NC/BC. Stąd MP/AB=PN/AB, czyli MP=NP.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W zadaniu jest prosta równoległa do podstaw trapezu, a równoległość natychmiast daje trójkąty podobne (kąty odpowiadające). Plan: wyrazić \(|MP|\) i \(|PN|\) przez ten sam odcinek \(|AB|\) i pokazać, że oba stosunki są równe. Trzeci potrzebny składnik to twierdzenie Talesa dla ramion trapezu.
**Krok \(2\).** Przyjmijmy oznaczenia: \(AB\) i \(CD\) to podstawy, \(P\) to punkt przecięcia przekątnych, \(M\) leży na ramieniu \(AD\), \(N\) na ramieniu \(BC\), a prosta \(MN\) jest równoległa do podstaw i przechodzi przez \(P\).
**Krok \(3\).** Rozpatrujemy trójkąt \(ABD\). Punkt \(M\) leży na boku \(DA\), punkt \(P\) leży na boku \(DB\) (bo \(P\) jest na przekątnej \(BD\)), a odcinek \(MP\) jest równoległy do \(AB\). Trójkąty \(DMP\) i \(DAB\) mają wspólny kąt przy wierzchołku \(D\) i równe kąty odpowiadające, więc są podobne. Stąd
\[\frac{|MP|}{|AB|}=\frac{|DM|}{|DA|}.\]
**Krok \(4\).** Analogicznie w trójkącie \(ABC\): punkt \(N\) leży na boku \(CB\), punkt \(P\) na boku \(CA\), a \(PN\) jest równoległe do \(AB\). Trójkąty \(CPN\) i \(CAB\) są podobne, więc
\[\frac{|PN|}{|AB|}=\frac{|CN|}{|CB|}.\]
**Krok \(5\).** Teraz twierdzenie Talesa. Proste \(AD\) i \(BC\) przecinamy trzema prostymi równoległymi: \(DC\), \(MN\) i \(AB\). Odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odcinków wyznaczonych na drugim:
\[\frac{|DM|}{|DA|}=\frac{|CN|}{|CB|}.\]
**Krok \(6\).** Łączymy trzy powyższe równości:
\[\frac{|MP|}{|AB|}=\frac{|DM|}{|DA|}=\frac{|CN|}{|CB|}=\frac{|PN|}{|AB|}.\]
**Krok \(7\).** Mnożymy skrajne wyrażenia przez \(|AB|\gt0\) i otrzymujemy \(|MP|=|PN|\), co należało wykazać.
**Uwaga.** Sedno dowodu leży w tym, że punkt \(P\) należy jednocześnie do obu przekątnych — dzięki temu ten sam punkt pojawia się w obu podobieństwach i oba stosunki dają się porównać. Bez tego założenia teza jest fałszywa: dowolna prosta równoległa do podstaw nie jest dzielona przez ramiona na równe części.
**Odpowiedź.** Z podobieństw \(DMP\sim DAB\) i \(CPN\sim CAB\) oraz z twierdzenia Talesa wynika \(\dfrac{|MP|}{|AB|}=\dfrac{|PN|}{|AB|}\), czyli \(|MP|=|NP|\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zauważenie dwóch par trójkątów podobnych: \(ABD\) i \(MPD\) oraz \(ABC\) i \(PNC\) i zapisanie proporcji \(\frac{\lvert MP\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{\lvert MD\rvert}{\lvert AD\rvert}\), \(\frac{\lvert PN\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{\lvert NC\rvert}{\lvert BC\rvert}\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – skorzystanie z twierdzenia Talesa dla prostych \(AD\) i \(BC\) przeciętych prostymi równoległymi \(AB\), \(MN\) i \(DC\) i zapisanie proporcji \(\frac{\lvert MD\rvert}{\lvert AD\rvert}=\frac{\lvert NC\rvert}{\lvert BC\rvert}\).
**Rozwiązanie pełne** – zapisanie równości \(\frac{\lvert MP\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{\lvert NP\rvert}{\lvert AB\rvert}\) i wyprowadzenie wniosku, że \(\lvert MP\rvert=\lvert NP\rvert\).
Uwaga: zdający może skorzystać z proporcji \(\frac{\lvert AM\rvert}{\lvert MD\rvert}=\frac{\lvert BN\rvert}{\lvert NC\rvert}\) i albo z niej wyprowadzić żądaną proporcję, albo do niej sprowadzić żądaną proporcję.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: dowód geometryczny z podobieństwa trójkątów i twierdzenia Talesa.
