Funkcja kwadratowa
Zadanie 29, arkusz pokazowy 2023, poziom podstawowy
Rozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym \(200\) i kącie ostrym o mierze \(30^\circ\).
**Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od długości \(x\) boku równoległoboku. Oblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz to największe pole. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
Boki mają długości \(50\) i \(50\), a największe pole wynosi \(1250\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech długości boków będą równe \(x\) i \(y\). Z warunku obwodu \(2x+2y=200\), więc \(y=100-x\) oraz \(x\in(0,100)\). Pole jest równe \[P(x)=xy\sin30^\circ=x(100-x)\cdot\frac12=-\frac12x^2+50x.\] Parabola ma ramiona skierowane w dół, a jej wierzchołek ma pierwszą współrzędną \[x=-\frac{50}{2\cdot(-\frac12)}=50.\] Wtedy \(y=50\) i \[P(50)=\frac12\cdot50\cdot50=1250.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda, wymiary \(50\) i \(50\) oraz największe pole \(1250\)
**3 pkt** – poprawny wzór z dziedziną oraz wyznaczenie \(x=50\)
**2 pkt** – zapisanie \(P(x)=\frac12x(100-x)\) z poprawną dziedziną
**1 pkt** – zapisanie \(P=xy\sin30^\circ\) albo \(2x+2y=200\)
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja; tworzenie strategii rozwiązania w sytuacji nietypowej.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych z wykorzystaniem własności funkcji kwadratowej.
