Zadanie 14.2 – matura z matematyki maj 2025, poziom podstawowy

**F, F.** Początkowe wyrazy ciągu to \(2,5,11\). Różnice \(3\) i \(6\) nie są równe, a ilorazy \(\frac52\) i \(\frac{11}{5}\) również nie są równe.

**Krok \(1\).** Ciąg jest zadany rekurencyjnie: każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego. Aby ocenić, czy ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny, wystarczy policzyć kilka pierwszych wyrazów i sprawdzić definicje: w ciągu arytmetycznym stała jest różnica kolejnych wyrazów, w geometrycznym stały jest ich iloraz. **Krok \(2\).** Liczymy wyrazy ze wzoru \(a_{n+1}=2a_{n}+1\): \[a_{1}=2,\qquad a_{2}=2\cdot2+1=5,\qquad a_{3}=2\cdot5+1=11,\qquad a_{4}=2\cdot11+1=23.\] **Krok \(3\).** Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie. Różnice kolejnych wyrazów: \[a_{2}-a_{1}=5-2=3,\qquad a_{3}-a_{2}=11-5=6.\] Ponieważ \(3\neq6\), różnica nie jest stała, więc ciąg nie jest arytmetyczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe. **Krok \(4\).** Sprawdzamy drugie stwierdzenie. Ilorazy kolejnych wyrazów: \[\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac52=2{,}5,\qquad\frac{a_{3}}{a_{2}}=\frac{11}{5}=2{,}2.\] Ilorazy są różne, więc ciąg nie jest geometryczny. Drugie stwierdzenie również jest fałszywe. **Uwaga.** Wzór \(a_{n+1}=2a_{n}+1\) tylko przypomina ciąg geometryczny, bo pojawia się w nim mnożenie przez \(2\). Dodawana jedynka psuje jednak stałość ilorazu. Do obalenia stwierdzenia wystarczy jeden kontrprzykład, czyli dwie różne różnice albo dwa różne ilorazy. **Odpowiedź.** F, F.

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VI.4) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.