Liczby rzeczywiste
Zadanie 14.1, maj 2025, poziom podstawowy
Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco:
\[\begin{cases}a_1=2,\\a_{n+1}=2a_n+1\end{cases}\qquad\text{dla każdej liczby naturalnej }n\geq1.\]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzeci wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy
**A.** \(4\)
**B.** \(5\)
**C.** \(7\)
**D.** \(11\)
Odpowiedź
**D.** Mamy \(a_2=2\cdot2+1=5\) oraz \(a_3=2\cdot5+1=11\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ciąg jest zadany **rekurencyjnie**: podany jest pierwszy wyraz i przepis, jak z dowolnego wyrazu otrzymać następny. Nie ma tu wzoru ogólnego, do którego można by wstawić \(n=3\) — trzeba iść krok po kroku od \(a_1\).
**Krok \(2\).** Znamy \(a_1=2\).
**Krok \(3\).** Wstawiamy \(n=1\) do wzoru \(a_{n+1}=2a_n+1\), czyli liczymy \(a_2\) z \(a_1\):
\[a_2=2a_1+1=2\cdot2+1=5.\]
**Krok \(4\).** Teraz wstawiamy \(n=2\), czyli liczymy \(a_3\) z \(a_2\):
\[a_3=2a_2+1=2\cdot5+1=11.\]
**Krok \(5\).** Trzeci wyraz ciągu jest więc równy \(11\).
**Uwaga.** Odpowiedź **B** (\(5\)) to **drugi** wyraz — dostaje ją każdy, kto zatrzyma się o jeden krok za wcześnie. Odpowiedź **A** (\(4\)) powstaje z pominięcia składnika \(+1\). Warto ponumerować obliczenia i sprawdzić, przy którym wyrazie się kończy.
**Odpowiedź.** D: \(a_3=11\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.2) Zdający oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie.
