Ciągi
Zadanie 23, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym
\[\begin{cases}a_1=-2,\\a_{n+1}=n\cdot a_n+4&\text{dla każdego }n\ge1.\end{cases}\]
**Oblicz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\).**
Odpowiedź
\[S_4=36.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ciąg jest dany **rekurencyjnie**: nie ma wzoru pozwalającego policzyć dowolny wyraz od razu, za to każdy kolejny wyraz obliczamy z poprzedniego. Skoro potrzebujemy czterech pierwszych wyrazów, wyznaczymy je po kolei, a na końcu je dodamy.
**Krok \(2\).** Pierwszy wyraz jest dany wprost:
\[a_1=-2.\]
**Krok \(3\).** Aby dostać \(a_2\), we wzorze \(a_{n+1}=n\cdot a_n+4\) bierzemy \(n=1\):
\[a_2=1\cdot a_1+4=1\cdot(-2)+4=2.\]
**Krok \(4\).** Dla \(a_3\) bierzemy \(n=2\):
\[a_3=2\cdot a_2+4=2\cdot 2+4=8.\]
**Krok \(5\).** Dla \(a_4\) bierzemy \(n=3\):
\[a_4=3\cdot a_3+4=3\cdot 8+4=28.\]
**Krok \(6\).** Dodajemy cztery początkowe wyrazy:
\[S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=-2+2+8+28=36.\]
**Uwaga.** We wzorze \(a_{n+1}=n\cdot a_n+4\) mnożymy przez \(n\), czyli przez numer **poprzedniego** wyrazu. Licząc \(a_4\), podstawiamy \(n=3\) (bo \(a_4=a_{3+1}\)), a nie \(n=4\). Pomyłka w tym miejscu psuje wszystkie dalsze wyrazy.
**Odpowiedź.** \(S_4=36\)
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2,a_3,a_4\) oraz sumy \(S_4=36\)
**1 pkt** – poprawne obliczenie \(a_2=2\), \(a_3=8\), \(a_4=28\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 i I operowanie obiektami matematycznymi i sprawność rachunkowa.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.2 obliczanie początkowych wyrazów ciągu określonego rekurencyjnie.
