Ciąg arytmetyczny
Zadanie 35, zbiór zadań z informatora 2025, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem ogólnym
\[a_n=4n-9\]
dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny.
Odpowiedź
Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\) mamy
\[a_{n+1}=4(n+1)-9=4n-5.\]
Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów:
\[a_{n+1}-a_n=(4n-5)-(4n-9)=4.\]
Różnica jest stała i nie zależy od \(n\), więc ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełne rozumowanie wykazujące, że różnica kolejnych wyrazów jest stała i nie zależy od \(n\)
**1 pkt** – zapisanie różnicy \(a_{n+1}-a_n=4(n+1)-9-(4n-9)\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań i podawanie argumentów uzasadniających ich poprawność.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.4) Zdający sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny.
VI.7) Wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych, do rozwiązywania zadań.
