Ciągi
Zadanie 16, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Pięciowyrazowy ciąg \((a_{1}, a_{2}, 2, a_{4}, a_{5})\) jest geometryczny. Iloczyn \(a_{1} \cdot a_{2} \cdot 2 \cdot a_{4} \cdot a_{5}\) jest równy
A. \(2\)
B. \(16\)
C. \(32\)
D. \(64\)
Podpowiedź
W pięciowyrazowym ciągu geometrycznym wyrazy leżące symetrycznie względem środkowego mają iloczyn równy kwadratowi wyrazu środkowego.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Łączymy pary \(a_1a_5\) i \(a_2a_4\), a następnie wykorzystujemy \(a_3=2\).
Rozwiązanie
Dla ciągu geometrycznego mamy \(a_1a_5=a_3^2\) oraz \(a_2a_4=a_3^2\). Zatem \[a_1a_2a_3a_4a_5=(a_1a_5)(a_2a_4)a_3=a_3^5=2^5=32.\]
Sprawdzenie
Przykładowo dla ilorazu \(q=2\) wyrazy mają postać \(\frac12,1,2,4,8\), a ich iloczyn także wynosi \(32\).
Odpowiedź
C. \(32\)
Rozwiązanie krok po kroku
W ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów jednakowo oddalonych od wyrazu środkowego jest równy kwadratowi tego wyrazu: \(a_1a_5=a_2a_4=a_3^{2}\). Wynika to z zależności \(a_3=a_1q^{2}\) i \(a_5=a_1q^{4}\), bo \(a_1a_5=a_1^{2}q^{4}=\left(a_1q^{2}\right)^{2}\).
Iloczyn wszystkich pięciu wyrazów jest zatem równy
\[a_1a_2a_3a_4a_5=\left(a_1a_5\right)\cdot\left(a_2a_4\right)\cdot a_3=a_3^{2}\cdot a_3^{2}\cdot a_3=a_3^{5}.\]
Wyraz środkowy jest równy \(2\), więc iloczyn wynosi \(2^{5}=32\).
**Odpowiedź.** **C.** \(32\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.
