Równania i nierówności
Zadanie 11, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Trzywyrazowy ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny. Jeżeli trzeci wyraz tego ciągu zmniejszymy o \(4\), a pozostałych wyrazów nie zmienimy, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Następnie, jeżeli drugi i trzeci wyraz otrzymanego ciągu arytmetycznego zmniejszymy o \(1\), to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Odpowiedź
\[(x,y,z)=(1,3,9)\quad\text{lub}\quad(x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Warunki opisane w zadaniu dają układ
\[y^{2}=xz,\qquad x+z-4=2y,\qquad (y-1)^{2}=x(z-5).\]
Po odjęciu pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy \(x=\frac{2y-1}{5}\). Podstawienie tego związku do pozostałych równań prowadzi do \(9y^{2}-34y+21=0\), czyli \(y=3\) albo \(y=\frac{7}{9}\). Odpowiadają im podane trójki.
Klucz i zasady oceniania
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(r\)), np. \((x+r)^{2}=x(x+2r+4)\) oraz \((x+r-1)^{2}=x(x+2r+4-5)\) (dla sposobu I) ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(r\), np. \(x=r^{2}-2r+1\) (dla sposobu I), ALBO zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi \(x\), \(y\), \(z\), np.: \(y^{2}=x\cdot z\) oraz \(y=\frac{x+z-4}{2}\) oraz \((y-1)^{2}=x\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np. \(y^{2}=x(2y+4-x)\), \((y-1)^{2}=(2y-z+4)\cdot(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest \(q\)), np. \(xq=\frac{x+xq^{2}-4}{2}\) oraz \((xq-1)^{2}=x\cdot(xq^{2}-5)\) (dla sposobu III), ALBO wyznaczenie \(x\) w zależności od \(q\) (lub \(q\) w zależności od \(x\)), np. \(x=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III).
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \(r^{2}=4(r^{2}-2r+1)\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi \(x\), \(y\) (lub \(y\), \(z\), lub \(z\), \(x\)), np.: \(y^{2}=x(2y+4-x)\) oraz \((y-1)^{2}=x(2y-x-1)\), \(y^{2}=(2y-z+4)z\) oraz \((y-1)^{2}=(2y-z+4)(z-5)\), \(\left(\frac{x+z-4}{2}\right)^{2}=xz\) oraz \(\left(\frac{x+z-4}{2}-1\right)^{2}=x(z-5)\) (dla sposobu II), ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(q\) (lub \(x\)), np. \(\frac{1}{2q-5}=\frac{4}{(q-1)^{2}}\) (dla sposobu III).
**3 pkt** – obliczenie \(r\): \(r=2\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą \(x\) (lub \(y\), lub \(z\)), np.:
\[\left(\frac{5x+1}{2}\right)^{2}=x\left[2\cdot\left(\frac{5x+1}{2}\right)+4-x\right],\]
\[y^{2}=\left(2y-\frac{8y+21}{5}+4\right)\cdot\left(\frac{8y+21}{5}\right),\]
\[\left(\frac{\frac{z-5}{4}+z-4}{2}\right)^{2}=\frac{z-5}{4}\cdot z\]
(dla sposobu II), ALBO obliczenie \(q\) (lub \(x\)): \(q=3\) oraz \(q=7\) (lub: \(x=\frac{1}{9}\) oraz \(x=1\)) (dla sposobu III).
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\).
Uwagi:
1. Jeżeli zdający przyjmuje, że \(y=\sqrt{x\cdot z}\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający otrzyma więcej niż dwa ciągi \((x,y,z)\), wśród których dwa są właściwe: \((x,y,z)=(1,3,9)\) oraz \((x,y,z)=\left(\frac{1}{9},\frac{7}{9},\frac{49}{9}\right)\), i nie odrzuci pozostałych ciągów, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu arytmetycznego;
5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.
