Liczby rzeczywiste
Zadanie 26, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac1x\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne0\).
**Oblicz wartość \(m\), dla której liczby \(f(m)\), \(f(1)\), \(f(2)\) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego.**
Odpowiedź
\[m=\frac12.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Mamy
\[f(m)=\frac1m,\qquad f(1)=1,\qquad f(2)=\frac12.\]
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem sąsiednich, więc
\[1^2=\frac1m\cdot\frac12.\]
Stąd \(2m=1\), czyli \(m=\frac12\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawna metoda i wynik \(m=\frac12\)
**1 pkt** – zapisanie wartości \(f(m)=\frac1m\), \(f(1)=1\), \(f(2)=\frac12\) i wykorzystanie własności ciągu geometrycznego
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1 operowanie obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
V.2, VI.4 i VI.7 obliczanie wartości funkcji oraz wykorzystywanie własności ciągu geometrycznego.
