Ciągi
Zadanie 25, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie \(1\)., \(2\). albo \(3\).**
Ciąg \((a_n)\) określony wzorem
\[a_n=n^2-n\qquad\text{dla każdego }n\ge1\]
jest
A. rosnący,
B. malejący,
C. stały,
ponieważ dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\)
\(1\). różnica \(a_{n+1}-a_n\) jest liczbą ujemną.
\(2\). różnica \(a_{n+1}-a_n\) jest równa zero.
\(3\). różnica \(a_{n+1}-a_n\) jest liczbą dodatnią.
Odpowiedź
**\(A_{3}\).** Ciąg jest rosnący, ponieważ \(a_{n+1}-a_n>0\).
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy
\[a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=2n.\]
Dla każdego \(n\ge1\) zachodzi \(2n>0\), więc ciąg \((a_n)\) jest rosnący.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A3**
**0 pkt** – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III.1-III.2 i IV.1 operowanie obiektami, tworzenie obiektów pomocniczych i przeprowadzanie rozumowania.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.1 i VI.3 obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego oraz badanie monotoniczności.
