Ciąg arytmetyczny
Zadanie 100, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Wyznacz wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego
wyrazów jest równa \(10\), a wyrazy trzeci, piąty i trzynasty tworzą w podanej kolejności ciąg
geometryczny.
Odpowiedź
an = \(2\) lub an = \(3n\) - \(7\)
Rozwiązanie krok po kroku
Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa pięciokrotności wyrazu środkowego, bo \(a_1+a_5=a_2+a_4=2a_3\). Zatem
\[S_5=5a_3=10,\qquad a_3=2.\]
Wyrazy \(a_3\), \(a_5\), \(a_{13}\) tworzą ciąg geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[(a_3+2r)^{2}=a_3(a_3+10r),\qquad (2+2r)^{2}=2(2+10r).\]
Stąd \(4+8r+4r^{2}=4+20r\), czyli \(4r^{2}-12r=0\) i \(4r(r-3)=0\). Otrzymujemy \(r=0\) albo \(r=3\); oba przypadki spełniają warunki zadania, bo dla \(r=0\) trójka \((2,2,2)\) też jest ciągiem geometrycznym.
Dla \(r=0\) mamy \(a_n=2\). Dla \(r=3\) mamy \(a_1=a_3-2r=2-6=-4\), więc \(a_n=-4+(n-1)\cdot3=3n-7\).
**Odpowiedź.** \(a_n=2\) albo \(a_n=3n-7\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(a_n=2\) lub \(a_n=3n-7\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Ciągi.
