Ciąg geometryczny
Zadanie 14, sierpień 2024, poziom podstawowy
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\), w którym
\[a_2=2\qquad\text{oraz}\qquad a_5=54.\]
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Iloraz ciągu \((a_n)\) jest równy
**A.** \(3\)
**B.** \(9\)
**C.** \(\frac{52}{3}\)
**D.** \(27\)
Odpowiedź
**A.** \(3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Znamy dwa wyrazy ciągu geometrycznego, między którymi są trzy „przeskoki” (od \(a_2\) do \(a_5\)). W ciągu geometrycznym każdy przeskok o jedno miejsce w prawo to mnożenie przez iloraz \(q\), więc trzy przeskoki to mnożenie przez \(q^3\).
**Krok \(2\).** Zapiszmy to jawnie:
\[a_3=a_2q,\qquad a_4=a_2q^2,\qquad a_5=a_2q^3.\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) i \(a_5=54\):
\[54=2q^3.\]
**Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(2\):
\[q^3=27.\]
**Krok \(5\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^3=27\) i pierwiastek stopnia nieparzystego jest wyznaczony jednoznacznie, mamy
\[q=3.\]
**Krok \(6\).** Sprawdzenie: przy \(a_2=2\) i \(q=3\) kolejne wyrazy to \(2,\;6,\;18,\;54\) — czwarty z nich, czyli \(a_5\), rzeczywiście wynosi \(54\).
**Uwaga.** Nie wolno podzielić \(54:2=27\) i uznać, że to iloraz — liczba \(27\) jest równa \(q^3\), a nie \(q\). Właśnie na tej pomyłce opiera się dystraktor D.
**Odpowiedź.** A: \(q=3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.5) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz [...] ciągu geometrycznego.
