Ciąg geometryczny
Zadanie 12, sierpień 2019, poziom podstawowy
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a ) , określonego dla \(n \geq 1\), są liczbami dodatnimi.
n
Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\) , a piąty wyraz jest równy \(48\) . Oznacza to, że iloraz
tego ciągu jest równy
\(2\) \(3\) \(1\) \(1\)
A. B. C. D.
\(3\) \(4\) \(3\) \(2\)
Odczyt redakcyjny — zapis matematyczny w arkuszu jest rozbity
Prawdopodobny zapis: „Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \geq 1\), są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(162\), a piąty wyraz jest równy \(48\). Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy” z wariantami **A.** \(\frac{2}{3}\) **B.** \(\frac{3}{4}\) **C.** \(\frac{1}{3}\) **D.** \(\frac{1}{2}\).
indeks \(n\) z symbolu \((a_n)\) spadł do osobnego wiersza (samotne „n” po pierwszym zdaniu), a ułamki wariantów rozbite są pionowo: wiersz „\(2\) \(3\) \(1\) \(1\)” nad wierszem „A. B. C. D.” to liczniki, wiersz „\(3\) \(4\) \(3\) \(2\)” pod nim to mianowniki; same dane liczbowe (\(162\) i \(48\)) podane są słownie, więc nie ucierpiały. Zgodność z odpowiedzią A, bo \(q^3=\frac{a_5}{a_2}=\frac{48}{162}=\frac{8}{27}\), czyli \(q=\frac23\).
Odpowiedź
A
Rozwiązanie krok po kroku
Z zależności \(a_5=a_2q^{3}\) otrzymujemy
\[q^{3}=\frac{a_5}{a_2}=\frac{48}{162}=\frac{8}{27},\]
a stąd \(q=\sqrt[3]{\frac8{27}}=\frac23\). Wartość ta jest dodatnia, więc wszystkie wyrazy ciągu pozostają dodatnie, zgodnie z treścią.
**Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac23\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 12.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2019 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Ciągi.
