Ciąg geometryczny
Zadanie 14.2, próbna wrzesień 2022, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem
\[a_n=\frac{7^n}{21}\]
dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\).
**Zadanie \(14\).\(2\).**
**Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.**
\(1\). Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny.
\(2\). Suma trzech początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(20\).
Odpowiedź
**P, F.**
Rozwiązanie krok po kroku
Iloraz kolejnych wyrazów jest stały:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{7^{n+1}}{21}\cdot\frac{21}{7^n}=7,\]
więc ciąg jest geometryczny. Trzy początkowe wyrazy wynoszą
\[a_1=\frac13,\qquad a_2=\frac73,\qquad a_3=\frac{49}{3}.\]
Ich suma jest równa
\[S_3=\frac{1+7+49}{3}=\frac{57}{3}=19,\]
a nie \(20\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: P, F
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.3 i VI.5 sprawdzanie, czy ciąg jest geometryczny, oraz stosowanie wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
