Ciąg geometryczny
Zadanie 17, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq1\). W tym ciągu
\[a_1=-5,\qquad a_2=15,\qquad a_3=-45.\]
**Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe.**
Wzór ogólny ciągu \((a_n)\) ma postać
**A.** \(a_n=-5\cdot(-3)^{n-1}\)
**B.** \(a_n=-5\cdot(-3)^n\)
**C.** \(a_n=-5\cdot3^{n-1}\)
**D.** \(a_n=-5\cdot\frac{(-3)^n}{3}\)
**E.** \(a_n=5\cdot\frac{(-3)^n}{3}\)
**F.** \(a_n=5\cdot(-3)^n\cdot3\)
Odpowiedź
**A i E.**
\[a_n=-5\cdot(-3)^{n-1}=5\cdot\frac{(-3)^n}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Iloraz ciągu jest równy
\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{-5}=-3.\]
Stąd wzór ogólny ma postać
\[a_n=a_1q^{n-1}=-5\cdot(-3)^{n-1},\]
czyli odpowiedź A. Ponieważ
\[-5\cdot(-3)^{n-1}=\frac{-5}{-3}(-3)^n=5\cdot\frac{(-3)^n}{3},\]
poprawna jest także odpowiedź E.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: A i E
**1 pkt** – wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna: A albo E
**0 pkt** – rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.5 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.
