Liczby rzeczywiste
Zadanie 16, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Pięciowyrazowy ciąg
\[\left(-3,\frac12,x,y,11\right)\]
jest arytmetyczny.
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Liczby \(x\) oraz \(y\) są równe
**A.** \(x=4\) oraz \(y=\frac{15}{2}\).
**B.** \(x=\frac{15}{2}\) oraz \(y=4\).
**C.** \(x=-4\) oraz \(y=\frac{15}{2}\).
**D.** \(x=-\frac{15}{2}\) oraz \(y=4\).
Odpowiedź
**A.** \(x=4\) oraz \(y=\frac{15}{2}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie do poprzedniego tej samej liczby \(r\). Znamy dwa **sąsiednie** wyrazy (\(-3\) oraz \(\frac12\)), więc różnicę \(r\) wyliczymy od razu, a potem po prostu będziemy do kolejnych wyrazów dodawać \(r\).
**Krok \(2\).** Obliczamy różnicę:
\[r=a_2-a_1=\frac12-(-3)=\frac12+3=\frac12+\frac62=\frac72.\]
**Krok \(3\).** Trzeci wyraz, czyli \(x\):
\[x=a_2+r=\frac12+\frac72=\frac82=4.\]
**Krok \(4\).** Czwarty wyraz, czyli \(y\):
\[y=x+r=4+\frac72=\frac82+\frac72=\frac{15}{2}.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy, czy piąty wyraz zgadza się z treścią:
\[a_5=y+r=\frac{15}{2}+\frac72=\frac{22}{2}=11.\]
Zgadza się, więc \(r\) i wszystkie wyrazy policzyliśmy dobrze.
**Uwaga.** Różnica wyszła dodatnia, więc ciąg jest rosnący i wyrazy \(x\), \(y\) muszą leżeć między \(\frac12\) a \(11\) — odpowiedzi z liczbami ujemnymi (C i D) można odrzucić bez rachunków. Trzeba też pilnować kolejności: \(x\) jest trzecim wyrazem, a \(y\) czwartym, więc \(x \lt y\) (to wyklucza odpowiedź B).
**Odpowiedź.** A: \(x=4\) oraz \(y=\dfrac{15}{2}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.4 stosowanie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
