Liczby rzeczywiste
Zadanie 18, próbna grudzień 2022, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz
\[\frac1{\sin^2\alpha}+\frac1{\cos^2\alpha}=\frac{64}{9}.\]
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Wartość wyrażenia \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\) jest równa
**A.** \(\frac83\)
**B.** \(\frac38\)
**C.** \(\frac{64}{9}\)
**D.** \(\frac9{64}\)
Odpowiedź
**B.** \(\frac38\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):
\[\frac1{\sin^2\alpha}+\frac1{\cos^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=\frac1{(\sin\alpha\cos\alpha)^2}.\]
Zatem
\[\frac1{(\sin\alpha\cos\alpha)^2}=\frac{64}{9},\qquad (\sin\alpha\cos\alpha)^2=\frac9{64}.\]
Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc iloczyn jest dodatni i
\[\sin\alpha\cos\alpha=\frac38.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.2 korzystanie z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
