Ciąg arytmetyczny
Zadanie 7, maj 2024, poziom rozszerzony
Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący, a suma jego wyrazów wynosi \(105\). Liczby x, y, z są odpowiednio pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n \geq 1\). Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
x=\(5\), y=\(20\), z=\(80\). Z własności ciągów wynika x+y+z=\(105\), \(y^{2}\)=xz oraz \(4\)(y−x)=z−y. Drugie rozwiązanie x=y=z=\(35\) odrzucamy, ponieważ ciąg ma być rosnący.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(r\) różnicę ciągu arytmetycznego \((a_n)\). Liczby \(x\), \(y\), \(z\) są jego pierwszym, drugim i szóstym wyrazem, więc
\[y=x+r,\qquad z=x+5r.\]
Z warunku na sumę
\[x+(x+r)+(x+5r)=105,\qquad 3x+6r=105,\qquad x+2r=35.\]
Ciąg \((x,y,z)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi wyrazów skrajnych:
\[(x+r)^{2}=x(x+5r),\qquad x^{2}+2xr+r^{2}=x^{2}+5xr,\qquad r^{2}-3xr=0,\qquad r(r-3x)=0.\]
Gdyby \(r=0\), wszystkie trzy liczby byłyby równe \(35\), a ciąg geometryczny nie byłby rosnący. Zostaje \(r=3x\), a wtedy z równania \(x+2r=35\)
\[x+6x=35,\qquad 7x=35,\qquad x=5,\qquad r=15.\]
Stąd \(y=20\) oraz \(z=5+75=80\).
Sprawdzenie: \(5+20+80=105\), a iloraz \(\frac{20}5=\frac{80}{20}=4>1\), więc ciąg jest rosnący.
**Odpowiedź.** \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\)
Klucz i zasady oceniania
**(dla sposobu I i II)**
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\).
**3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np. \((35-r)^2=(35-2r)\cdot(35+3r)\)
ALBO
– poprawne wyznaczenie \(r\) w zależności od \(x\) z równania \((x+r)^2=x(x+5r)\): \(r=3x\).
**2 pkt** – zapisanie \(x\), \(y\) oraz \(z\) w zależności od \(r\): \(x=35-2r\), \(y=35-r\), \(z=35+3r\)
ALBO
– zapisanie układu równań \(x+x+r+x+5r=105\) i \((x+r)^2=x(x+5r)\) lub \(x+x+r+x+5r=105\) i \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\)
**1 pkt** – zapisanie równania \(x+x+r+x+5r=105\)
ALBO
– zapisanie równania \((x+r)^2=x(x+5r)\),
ALBO
– zapisanie równania \(x+x\cdot\frac{x+5r}{x+r}+x\cdot\left(\frac{x+5r}{x+r}\right)^{2}=105\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Zasady oceniania (dla sposobu III)**
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\).
**3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą \(y\), np. \(y^2=(2y-35)\cdot(140-3y)\).
**2 pkt** – zapisanie \(x\) oraz \(z\) w zależności od \(y\): \(x=2y-35\), \(z=140-3y\).
**1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(y-x)=z-y\) lub \(y^2=xz\), lub \(5(y-x)=z-x\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Zasady oceniania (dla sposobu IV)**
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(x=5\), \(y=20\), \(z=80\).
**3 pkt** – zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\) oraz obliczenie \(q\): \(q=4\)
ALBO
– zapisanie równania \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,y,z)\) jest rosnący, więc \(x\neq0\), oraz zapisanie równania \(q^2-5q+4=0\).
**2 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) oraz zapisanie, że ciąg \((x,y,z)\) jest rosnący, więc \(x\neq0\) i \(q\neq1\), oraz obliczenie \(q\): \(q=4\)
ALBO
– zapisanie równań \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) oraz \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\).
**1 pkt** – zapisanie równania \(4\cdot(x\cdot q-x)=x\cdot q^2-x\cdot q\) lub \(x+x\cdot q+x\cdot q^2=105\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. \(\frac{a_1+a_1+5r}{2}\cdot6=105\), \(y-x=4\cdot(z-y)\) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za obliczenie \(x\), \(y\) oraz \(z\)).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].
