Trygonometria
Zadanie 8, maj 2024, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt \(ABC\), który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta \(ABC\) jest dwa razy większa od miary kąta \(BAC\).
**Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek**
\[|AC|^2=|BC|^2+|AB|\cdot|BC|.\]
Odpowiedź
\[|AC|^2=|BC|^2+|AB|\cdot|BC|.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy
\[a=|BC|,\qquad b=|AC|,\qquad c=|AB|,\qquad \alpha=|\angle BAC|.\]
Wtedy \(|\angle ABC|=2\alpha\), a trzeci kąt ma miarę \(\pi-3\alpha\). Z twierdzenia sinusów
\[\frac ba=\frac{\sin(2\alpha)}{\sin\alpha}=2\cos\alpha,\]
czyli \(b=2a\cos\alpha\). Ponadto
\[\frac ca=\frac{\sin(3\alpha)}{\sin\alpha}=3-4\sin^2\alpha=4\cos^2\alpha-1.\]
Zatem
\[a^2+ac=a^2\left(1+\frac ca\right)=a^2(1+4\cos^2\alpha-1)=4a^2\cos^2\alpha=b^2.\]
To jest równoważne tezie zadania.
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**3 pkt** – wyznaczenie obu zależności \(b=2a\cos\alpha\) oraz \(\frac ca=4\cos^2\alpha-1\) albo równoważnych zależności prowadzących bezpośrednio do tezy
**2 pkt** – zapisanie związku między cosinusem kąta \(BAC\) a długościami odpowiednich boków albo poprawne wykonanie dwóch istotnych kroków dowodu
**1 pkt** – zastosowanie twierdzenia sinusów i zapisanie \(\frac b{\sin(2\alpha)}=\frac a{\sin\alpha}\) albo równoważnego poprawnego kroku
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.R3) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
