Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 10, maj 2024, poziom rozszerzony
Spośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do zbioru {\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),\(5\),\(6\),\(7\),\(8\)}, losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo, że kolejne cyfry tej liczby, licząc od lewej strony, tworzą sześciowyrazowy ciąg malejący.
Odpowiedź
\(\frac{7}{65536}\). Wszystkich liczb jest \(8^{6}\). Ściśle malejący ciąg sześciu cyfr jest jednoznacznie określony przez wybór sześciu spośród ośmiu cyfr, więc P=C(\(8\),\(6\))/\(8^{6}\)=\(\frac{28}{262144=7}\)/\(65536\).
Rozwiązanie krok po kroku
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zdarzeniem elementarnym jest sześciowyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru
{\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\)}, więc liczba |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
|Ω| = \(86\).
Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano liczbę, której druga cyfra
(licząc od lewej strony) jest mniejsza od pierwszej, a każda następna cyfra tej liczby jest
mniejsza od poprzedniej. Wtedy zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A jest
sześciowyrazowy ciąg malejący. Liczba wszystkich takich ciągów jest równa
(\(8\)),
więc
\(6\)
|A| = (\(8\)).
\(6\)
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
|A|
(\(8\))
\(28\) \(7\)
P(A) = = \(6\) = =
|Ω| \(86\) \(262\) \(144\) \(65536\)
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(P(A)=\frac{28}{8^{6}}=\frac{7}{65536}\).
**2 pkt** – zapisanie liczby \(\lvert\Omega\rvert\) wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zapisanie liczby \(\lvert A\rvert\) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\), np. \(\lvert\Omega\rvert=8^{6}\) oraz \(\lvert A\rvert=\binom{8}{6}\)
ALBO
– zapisanie liczby \(\lvert\Omega\rvert\) wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\) i niewypisanie żadnego zdarzenia niewłaściwego, np. \(\lvert\Omega\rvert=8^{6}\) oraz \(A=\{876543,\ 876542,\ 876541,\ 876532,\ 876531,\ 876521,\ 876432,\ 876431,\ 876421,\ 876321,\ 875432,\ 875431,\ 875421,\ 875321,\ 874321,\ 865432,\ 865431,\ 865421,\ 865321,\ 864321,\ 854321,\ 765432,\ 765431,\ 765421,\ 765321,\ 764321,\ 754321,\ 654321\}\).
**1 pkt** – zapisanie liczby \(\lvert\Omega\rvert\) wszystkich zdarzeń elementarnych: np. \(\lvert\Omega\rvert=8^{6}\)
ALBO
– zapisanie liczby \(\lvert A\rvert\) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\): np. \(\lvert A\rvert=\binom{8}{6}\),
ALBO
– wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \(A\) i niewypisanie żadnego zdarzenia niewłaściwego: \(654321\), \(765432\), \(765321\), \(876543\), \(875432\), \(865432\), \(864321\), \(854321\), \(765431\), \(764321\), \(876542\), \(875431\), \(865431\), \(765421\), \(754321\), \(876541\), \(875421\), \(865421\), \(876532\), \(875321\), \(865321\), \(876531\), \(874321\), \(876521\), \(876432\), \(876431\), \(876421\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
10.1R) Zdający wykorzystuje wzory na liczbę […] kombinacji […].
10.2) Zdający oblicza prawdopodobieństwa […].
