Liczby rzeczywiste
Zadanie 16, maj 2024, poziom podstawowy
Trzywyrazowy ciąg (\(12\), \(6\), \(2m\) − \(1\)) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź \(1\), \(2\) albo \(3\).
Ciąg jest: A. rosnący; B. malejący.
Wartość m: \(1\). \(m = \frac{1}{2}; 2\). \(m = 2; 3\). \(m = 3\).
Odpowiedź
B2. Ciąg jest malejący oraz \(m=2\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ciąg trzywyrazowy ma być geometryczny, a to znaczy, że iloraz każdego wyrazu przez poprzedni jest taki sam. Mamy podane dwa pierwsze wyrazy liczbowo, więc iloraz policzymy od razu, a z niego wyliczymy trzeci wyraz i porównamy go z \(2m-1\).
**Krok \(2\).** Liczymy iloraz z dwóch pierwszych wyrazów:
\[q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{12}=\frac12.\]
**Krok \(3\).** Trzeci wyraz to drugi pomnożony przez iloraz:
\[a_3=a_2\cdot q=6\cdot\frac12=3.\]
**Krok \(4\).** Trzecim wyrazem jest \(2m-1\), więc
\[2m-1=3,\qquad 2m=4,\qquad m=2.\]
**Krok \(5\).** Wypisujemy gotowy ciąg: \((12,\;6,\;3)\). Każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego, więc ciąg jest **malejący**.
**Krok \(6\).** Kontrola warunkiem na ciąg geometryczny \(a_2^{\,2}=a_1\cdot a_3\):
\[6^2=36,\qquad 12\cdot3=36.\]
Zgadza się.
**Uwaga.** O tym, że ciąg maleje, decyduje nie sam iloraz, lecz iloraz razem ze znakiem wyrazów: tutaj wyrazy są dodatnie, a \(q=\tfrac12\in(0,1)\), więc ciąg maleje. Gdyby iloraz był ujemny, ciąg byłby naprzemienny — ani rosnący, ani malejący.
**Odpowiedź.** B2 — ciąg jest malejący oraz \(m=2\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
VI.2) Zdający w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący;
VI.6) Zdający wykorzystuje własności ciągów […] geometrycznych, do rozwiązywania zadań […].
