Równania i nierówności
Zadanie 17, maj 2024, poziom podstawowy
Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla \(n \geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy −\(1\), a suma piętnastu początkowych wyrazów jest równa −\(165\). **Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
r = −\(2\). Z równań \(a_{1}\) + \(2r\) = −\(1\) oraz \(a_{1}\) + \(7r\) = −\(11\) otrzymujemy \(5r\) = −\(10\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Ciąg arytmetyczny jest w pełni opisany przez dwie liczby: pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\). W treści są dokładnie dwie informacje, więc plan jest jasny: zapisujemy je jako dwa równania z niewiadomymi \(a_1\) i \(r\) i rozwiązujemy układ.
**Krok \(2\).** Pierwsza informacja dotyczy trzeciego wyrazu. Ze wzoru \(a_n=a_1+(n-1)r\) mamy
\[a_3=a_1+2r=-1.\]
**Krok \(3\).** Druga informacja dotyczy sumy piętnastu początkowych wyrazów. Ze wzoru \(S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\) dla \(n=15\):
\[S_{15}=\frac{2a_1+14r}{2}\cdot 15=15\left(a_1+7r\right).\]
**Krok \(4\).** Przyrównujemy do wartości z treści i dzielimy przez \(15\):
\[15\left(a_1+7r\right)=-165,\qquad a_1+7r=-11.\]
**Krok \(5\).** Mamy układ
\[\begin{cases}a_1+2r=-1\\ a_1+7r=-11\end{cases}\]
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego, co eliminuje \(a_1\):
\[5r=-10.\]
**Krok \(6\).** Stąd
\[r=-2.\]
**Krok \(7\).** Sprawdzenie. Z pierwszego równania \(a_1=-1-2r=-1+4=3\), więc ciąg to \(3,1,-1,-3,\ldots\). Wtedy \(a_3=-1\), a \(a_1+7r=3-14=-11\), czyli \(S_{15}=15\cdot(-11)=-165\). Zgadza się.
**Uwaga.** Liczba \(-165\) to suma piętnastu wyrazów, a nie piętnasty wyraz. Warto też zauważyć wygodny skrót: \(a_1+7r\) to po prostu \(a_8\), czyli środkowy z piętnastu wyrazów, więc \(S_{15}=15a_8\) i od razu \(a_8=-11\). Wtedy z różnicy \(a_8-a_3=5r=-11-(-1)=-10\) dostajemy \(r=-2\) w jednym rachunku.
**Odpowiedź.** Różnica tego ciągu jest równa \(r=-2\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: \(r=-2\).
**1 pkt** – zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć \(r\), np.: \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]+14r}{2}\cdot 15\), \(-1=a_{1}+2r\) oraz \(a_{15}=a_{1}+14r\) oraz \(-165=\frac{[\ldots]}{2}\cdot 15\), \(a_{3}=-1\) oraz \(-165=\frac{(a_{3}-2r)+(a_{3}+12r)}{2}\cdot 15\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(r\), np.: \(\frac{2(-1-2r)+14r}{2}\cdot 15=-165\), \(\frac{(-1-2r)+(-1+12r)}{2}\cdot 15=-165\)
ALBO
– obliczenie ósmego wyrazu ciągu \((a_{n})\) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: \(a_{8}=-11\) (dla sposobów IV oraz V)
ALBO
– zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu \((a_{n})\): \(3\), \(1\), \(-1\), \(-3\), \(-5\), \(-7\), \(-9\), \(-11\), \(-13\), \(-15\), \(-17\), \(-19\), \(-21\), \(-23\), \(-25\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Uwagi:**
1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
2. Jeżeli zdający zapisze tylko \(r=-2\), to otrzymuje \(1\) punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę \((-165)\) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje \(0\) punktów za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach n początkowych wyrazów ciągu nietypowych.
**Wymaganie szczegółowe:** VI.4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę arytmetycznego.
