Ciąg geometryczny
Zadanie 15, maj 2022, poziom podstawowy
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n \geq 1\), są dodatnie i \(9a_{5} = 4a_{3}\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\frac{2}{9}\)
D. \(\frac{9}{2}\)
Odpowiedź
A. \(\frac{2}{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy z zależności \(a_5=a_3q^{2}\) i podstawiamy ją do warunku \(9a_5=4a_3\):
\[9a_3q^{2}=4a_3.\]
Wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(a_3\ne0\) i po podzieleniu przez \(a_3\) otrzymujemy
\[q^{2}=\frac49,\qquad q=\frac23\ \text{lub}\ q=-\frac23.\]
Gdyby \(q=-\frac23\), kolejne wyrazy zmieniałyby znak, a mają być dodatnie. Zostaje \(q=\frac23\).
**Odpowiedź.** **A.** \(q=\frac23\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2022**
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz […] ciągu geometrycznego.
