Ciąg arytmetyczny
Zadanie 6, maj 2014, poziom rozszerzony
Trójkąt \(ABC\) jest wpisany w okrąg o środku \(S\). Kąty wewnętrzne \(CAB\), \(ABC\) i \(BCA\) tego trójkąta są równe odpowiednio \(\alpha\), \(2\alpha\) i \(4\alpha\). Wykaż, że trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych \(ASB\), \(ASC\) i \(BSC\) tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.
Odpowiedź
Trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny, a miary kątów \(ASB\), \(ASC\), \(BSC\) są równe odpowiednio
\[6\alpha,\quad4\alpha,\quad2\alpha,\]
więc tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(-2\alpha\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z sumy kątów trójkąta
\[\alpha+2\alpha+4\alpha=180^\circ,\]
zatem \(\alpha=\frac{180^\circ}{7}\). Kąt \(BCA=4\alpha=\frac{720^\circ}{7}>90^\circ\), więc trójkąt jest rozwartokątny. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym
\[\angle BSC=2\angle BAC=2\alpha,\qquad \angle ASC=2\angle ABC=4\alpha.\]
Kąt wpisany \(BCA\) opiera się na łuku \(BA\) o mierze \(8\alpha>180^\circ\), dlatego wypukły kąt środkowy \(ASB\) ma miarę
\[360^\circ-8\alpha=14\alpha-8\alpha=6\alpha.\]
Liczby \(6\alpha\), \(4\alpha\), \(2\alpha\) tworzą ciąg arytmetyczny.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – wykazanie rozwartokątności oraz wyznaczenie miar \(6\alpha\), \(4\alpha\), \(2\alpha\) i stwierdzenie, że tworzą ciąg arytmetyczny
**2 pkt** – poprawne zastosowanie związku między kątem wpisanym i środkowym do wyznaczenia kątów \(ASC\) i \(BSC\)
**1 pkt** – obliczenie \(\alpha=\frac{180^\circ}{7}\) i uzasadnienie, że trójkąt jest rozwartokątny
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający korzysta ze związku między kątem środkowym i wpisanym oraz bada, czy podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.
