Równania i nierówności
Zadanie 5, maj 2012, poziom rozszerzony
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy \(8\), to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy \(64\), to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
Odpowiedź
Są dwie trójki: (\(4\),\(12\),\(36\)) oraz (\(\frac{4}{9}\),−\(\frac{20}{9}\),\(\frac{100}{9}\)). Oznaczmy początkowy ciąg geometryczny jako (a,aq,a\(q^{2}\)). Warunki arytmetyczności (a,aq+\(8\),a\(q^{2}\)) i geometryczności (a,aq+\(8\),a\(q^{2}\)+\(64\)) prowadzą do \(q^{2}\)+\(2q\)−\(15=0\), więc q=\(3\) lub q=−\(5\). Po wyznaczeniu a otrzymujemy obie trójki.
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Skoro pierwsze trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, najwygodniej zapisać je za pomocą pierwszego wyrazu \(a\) i ilorazu \(q\): są to \(a\), \(aq\), \(aq^2\). Dzięki temu zamiast trzech niewiadomych mamy dwie, a każdy warunek z treści zamienimy na jedno równanie.
**Krok \(2\).** Po dodaniu \(8\) do drugiej liczby powstaje ciąg \((a,\ aq+8,\ aq^2)\), który ma być arytmetyczny. Podwojony wyraz środkowy równa się sumie sąsiadów:
\[2(aq+8)=a+aq^2.\quad(1)\]
**Krok \(3\).** Do ostatniej liczby tego nowego ciągu dodajemy \(64\) i otrzymujemy ciąg \((a,\ aq+8,\ aq^2+64)\), który ma być geometryczny. Kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiadów:
\[(aq+8)^2=a\left(aq^2+64\right).\quad(2)\]
**Krok \(4\).** Porządkujemy równanie \((1)\): \(2aq+16=a+aq^2\), czyli \(aq^2-2aq+a=16\), a po wyłączeniu \(a\)
\[a(q-1)^2=16.\]
Widać od razu, że \(a\neq0\) i \(q\neq1\).
**Krok \(5\).** Porządkujemy równanie \((2)\): \(a^2q^2+16aq+64=a^2q^2+64a\). Wyrazy \(a^2q^2\) się redukują:
\[16aq+64=64a,\qquad 16aq-64a=-64,\qquad a(q-4)=-4,\qquad a=\frac{4}{4-q}.\]
**Krok \(6\).** Podstawiamy \(a\) z kroku \(5\) do równania z kroku \(4\):
\[\frac{4(q-1)^2}{4-q}=16,\qquad (q-1)^2=4(4-q),\qquad q^2-2q+1=16-4q.\]
**Krok \(7\).** Otrzymujemy równanie kwadratowe
\[q^2+2q-15=0,\qquad \Delta=4+60=64,\qquad \sqrt{\Delta}=8,\]
skąd \(q=\frac{-2-8}{2}=-5\) lub \(q=\frac{-2+8}{2}=3\).
**Krok \(8\).** Dla \(q=3\): \(a=\frac{4}{4-3}=4\), więc liczby to \(4\), \(12\), \(36\). Dla \(q=-5\): \(a=\frac{4}{4+5}=\frac49\), więc liczby to \(\frac49\), \(-\frac{20}{9}\), \(\frac{100}{9}\).
**Krok \(9\).** Sprawdzamy pierwszą trójkę: \((4,12,36)\) jest geometryczna (iloraz \(3\)); po dodaniu \(8\) mamy \((4,20,36)\) — ciąg arytmetyczny o różnicy \(16\); po dodaniu \(64\) do ostatniego wyrazu mamy \((4,20,100)\) — ciąg geometryczny o ilorazie \(5\).
**Krok \(10\).** Sprawdzamy drugą trójkę: \(\left(\frac49,-\frac{20}{9},\frac{100}{9}\right)\) jest geometryczna (iloraz \(-5\)); po dodaniu \(8\) środkowy wyraz to \(-\frac{20}{9}+\frac{72}{9}=\frac{52}{9}\) i ciąg \(\left(\frac49,\frac{52}{9},\frac{100}{9}\right)\) jest arytmetyczny o różnicy \(\frac{48}{9}\); po dodaniu \(64\) ostatni wyraz to \(\frac{676}{9}\), a \(\left(\frac{52}{9}\right)^2=\frac{2704}{81}=\frac49\cdot\frac{676}{9}\), więc ciąg jest geometryczny.
**Uwaga.** Polecenie żąda uwzględnienia wszystkich możliwości, więc obie trójki muszą znaleźć się w odpowiedzi — pominięcie tej z ujemnym ilorazem to typowa strata punktów. Odrzucony przypadek \(q=1\) też ma sens: wtedy pierwotny ciąg byłby stały, a ciąg \((a,a+8,a)\) nie jest arytmetyczny dla żadnego \(a\).
**Odpowiedź.** Szukane liczby to \(4,\ 12,\ 36\) albo \(\frac49,\ -\frac{20}{9},\ \frac{100}{9}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie, że liczby \(a\), \(aq\), \(aq^{2}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego oraz liczby \(a\), \(aq+8\), \(aq^{2}\), w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny, natomiast liczby \(a\), \(aq+8\), \(aq^{2}+64\), w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny.
**2 pkt** – wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do zapisania układu równań, np. \(2(aq+8)=a+aq^{2}\) oraz \((aq+8)^{2}=a\left(aq^{2}+64\right)\).
**4 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, np.: \(q^{2}+2q-15=0\) lub \(9a^{2}-40a+16=0\).
**5 pkt** – rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe): zdający popełni błędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego, np. \(q^{2}+2q-15=0\), i konsekwentnie do tych błędów poda w odpowiedzi dwa ciągi geometryczne, lub przekształci układ równań z błędem (np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste).
**6 pkt** – zapisanie dwóch trójek liczb, z których każda tworzy ciąg geometryczny opisany w treści zadania: \((4,\,12,\,36)\) oraz \(\left(\tfrac{4}{9},\,-\tfrac{20}{9},\,\tfrac{100}{9}\right)\).
Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje \(0\) punktów.
Jeżeli zdający w trakcie przekształcania układu równań popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje \(2\) punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zastosowanie własności ciągu geometrycznego oraz własności ciągu arytmetycznego. (IV.5.c)
