Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 8, maj 2012, poziom rozszerzony
Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy \(12\).
Odpowiedź
Takich liczb jest \(280\). Możliwe zestawy cyfr to \(3\),\(4\) i sześć jedynek; \(2\),\(6\) i sześć jedynek; albo \(3\),\(2\),\(2\) i pięć jedynek. Dają one odpowiednio \(8\cdot 7=56\), \(8\cdot 7=56\) oraz \(8\)·C(\(7\),\(2\))=\(168\) ustawień. Suma wynosi \(280\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie kombinatoryczne typu: najpierw ustalamy, jakie zestawy cyfr w ogóle wchodzą w grę, a dopiero potem liczymy, na ile sposobów można je rozmieścić na ośmiu pozycjach. Zaczynamy od obserwacji: skoro iloczyn cyfr jest równy \(12\), czyli jest różny od zera, to żadna cyfra nie jest zerem. Dzięki temu nie trzeba osobno pilnować, żeby pierwsza cyfra była niezerowa.
**Krok \(2\).** Rozkładamy \(12\) na czynniki pierwsze: \(12=2\cdot2\cdot3\). Cyfry różne od \(1\) muszą dać w iloczynie \(12\), a każda z nich jest liczbą od \(2\) do \(9\).
**Krok \(3\).** Wypisujemy możliwe zestawy cyfr większych od \(1\): \(\{3,4\}\), \(\{2,6\}\), \(\{2,2,3\}\). Zestaw jednoelementowy odpada, bo \(12\) nie jest cyfrą, a czteroelementowego nie ma, bo \(12\) jest iloczynem tylko trzech czynników pierwszych i rozbicie \(2\cdot2\cdot3\) jest najdrobniejsze. Pozostałe miejsca wypełniają jedynki, które nie zmieniają iloczynu.
**Krok \(4\).** Przypadek pierwszy: cyfry \(3\), \(4\) i sześć jedynek. Wybieramy miejsce dla trójki spośród \(8\) pozycji, a potem miejsce dla czwórki spośród \(7\) pozostałych:
\[8\cdot7=56.\]
**Krok \(5\).** Przypadek drugi: cyfry \(2\), \(6\) i sześć jedynek. Rozumowanie identyczne:
\[8\cdot7=56.\]
**Krok \(6\).** Przypadek trzeci: cyfry \(2\), \(2\), \(3\) i pięć jedynek. Miejsce dla trójki wybieramy na \(8\) sposobów, a dwa miejsca dla dwóch dwójek spośród \(7\) pozostałych — tu kolejność nie ma znaczenia, bo obie dwójki są identyczne, więc używamy kombinacji:
\[8\cdot\binom{7}{2}=8\cdot\frac{7\cdot6}{2}=8\cdot21=168.\]
**Krok \(7\).** Trzy przypadki wykluczają się parami (różnią się zestawem cyfr), więc wyniki dodajemy:
\[56+56+168=280.\]
**Uwaga.** W trzecim przypadku łatwo policzyć \(7\cdot6=42\) zamiast \(\binom72=21\) — wtedy każdą liczbę policzylibyśmy dwukrotnie, bo dwie dwójki są nierozróżnialne.
**Odpowiedź.** Takich liczb jest \(280\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – zapisanie co najmniej dwóch z trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy \(12\) (bez obliczania liczby tych możliwości): \(12=3\cdot4\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\), \(12=2\cdot6\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\), \(12=3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\).
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zapisanie wszystkich trzech parami wykluczających się możliwości, w których iloczyn cyfr liczby ośmiocyfrowej jest równy \(12\) (bez obliczania liczby tych możliwości).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy \(12\), w co najmniej dwóch z trzech możliwości.
**Rozwiązanie pełne** – obliczenie liczby liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy \(12\): \(56+56+168=280\).
Wymagania podstawy programowej
IV. Użycie i tworzenie strategii. Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych. (IV.10.R)
