Ciąg arytmetyczny
Zadanie 32, maj 2012, poziom podstawowy
Ciąg \((9,x,19)\) jest arytmetyczny, a ciąg \((x,42,y,z)\) jest geometryczny. Oblicz \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Odpowiedź
Ponieważ (\(9\), x, \(19\)) jest ciągiem arytmetycznym, x = (\(9 + 19\))/\(2 = 14\). Ciąg (\(14\), \(42\), y, z) jest geometryczny z ilorazem q = \(\frac{42}{14 = 3}\). Stąd y = \(42\cdot 3 = 126\) i z = \(126\cdot 3 = 378\).
Rozwiązanie krok po kroku
W ciągu arytmetycznym \((9,x,19)\) wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów skrajnych:
\[x=\frac{9+19}{2}=14.\]
Ciąg \((14,42,y,z)\) jest geometryczny, a jego iloraz odczytujemy z dwóch pierwszych wyrazów:
\[q=\frac{42}{14}=3.\]
Zatem
\[y=42\cdot3=126,\qquad z=126\cdot3=378.\]
**Odpowiedź.** \(x=14\), \(y=126\), \(z=378\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego albo geometrycznego.
2 pkt: obliczenie x = 14 i zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć y.
3 pkt: obliczenie ilorazu q = 3 lub y = 126 i zapisanie równania dla z.
4 pkt: obliczenie x = 14, y = 126, z = 378.
Wymagania podstawy programowej
Modelowanie matematyczne. Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego (III.5.c).
