Trygonometria
Zadanie 33, maj 2012, poziom podstawowy
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.
Odpowiedź
\[V=\frac{32\sqrt3}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat \(ABCD\). Z przekątnej \(\lvert AC\rvert=4\) wyznaczamy jego bok:
\[a\sqrt2=4,\qquad a=2\sqrt2,\qquad P_p=a^{2}=8.\]
Z rysunku odczytujemy, że krawędź \(AE\) jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt \(ACE\) ma kąt prosty przy wierzchołku \(A\). Kąt \(ACE\) ma miarę \(60^\circ\), zatem
\[\lvert AE\rvert=\lvert AC\rvert\cdot\operatorname{tg}60^\circ=4\sqrt3.\]
Ostrosłup \(ABCDE\) ma podstawę \(ABCD\) i wysokość \(AE\), więc
\[V=\tfrac13\cdot8\cdot4\sqrt3=\frac{32\sqrt3}{3}.\]
**Odpowiedź.** \(V=\dfrac{32\sqrt3}{3}\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie wysokości AE = 4√3 albo pola podstawy P = 8.
2 pkt: obliczenie jednej z tych wielkości z błędem rachunkowym i konsekwentna praca.
3 pkt: poprawne obliczenie pola podstawy i wysokości.
4 pkt: objętość V = 32√3/3.
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Obliczenie objętości wielościanu (IV.9.b).
