Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 31, maj 2012, poziom podstawowy
Ze zbioru liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez \(6\).
Odpowiedź
Wszystkich uporządkowanych wyników jest \(7\cdot 7 = 49\). Iloczyn jest podzielny przez \(6\), gdy jedna liczba jest równa \(6\) (\(13\) par po usunięciu podwójnego liczenia (\(6\),\(6\))) albo gdy jedną liczbą jest \(3\), a drugą \(2\) lub \(4\) (\(4\) par). Razem \(17\) wyników, więc P(A) = \(\frac{17}{49}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy dwa razy ze zwracaniem, więc zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary liczb ze zbioru \(\{1,2,\ldots,7\}\):
\[|\Omega|=7\cdot7=49.\]
Iloczyn jest podzielny przez \(6\), gdy dzieli się przez \(2\) i przez \(3\). W zbiorze wielokrotnościami trójki są \(3\) i \(6\), więc rozpatrujemy dwa rozłączne przypadki.
**Przypadek 1: co najmniej jedna z liczb to \(6\).** Wtedy iloczyn dzieli się przez \(6\) niezależnie od drugiej liczby. Par, w których \(6\) stoi na pierwszym miejscu, jest \(7\); tyle samo z \(6\) na drugim miejscu. Para \((6,6)\) została policzona dwa razy, więc takich par jest \(7+7-1=13\).
**Przypadek 2: żadna liczba nie jest szóstką, ale jedną z nich jest \(3\).** Wtedy druga liczba musi być parzysta i różna od \(6\), czyli równa \(2\) albo \(4\). Daje to pary \((3,2)\), \((3,4)\), \((2,3)\), \((4,3)\), czyli \(4\) pary.
Przypadki są rozłączne, więc
\[|A|=13+4=17,\qquad P(A)=\frac{17}{49}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{17}{49}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne obliczenie liczby wszystkich wyników 49 albo liczby wyników sprzyjających 17.
2 pkt: poprawne prawdopodobieństwo 17/49.
Wymagania podstawy programowej
Modelowanie matematyczne. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa (III.10.b, 10.d).
