Zadanie 5 – matura z matematyki maj 2010, poziom rozszerzony

\((a,b,c)=(2,5,8)\) lub \((a,b,c)=(26,5,-16)\). Z warunku \(2b=a+c=10\) wynika \(b=5\), a z warunku \(9^{2}=(a+1)(c+19)\) po podstawieniu \(c=10-a\) otrzymujemy \(a^{2}-28a+52=0\), czyli \(a=2\) lub \(a=26\).

**Krok \(1\).** Mamy trzy liczby i dwa warunki na ciągi trzywyrazowe. Dla takich zadań najwygodniejsze są warunki na wyraz środkowy: w ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, czyli \(2b=a+c\), a w ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi sąsiadów. **Krok \(2\).** Z arytmetyczności ciągu \((a,b,c)\) mamy \(2b=a+c\), a z treści \(a+c=10\). Stąd od razu \[2b=10,\qquad b=5.\] **Krok \(3\).** Podstawiamy \(b=5\) do drugiego ciągu. Ciąg \((a+1,\;b+4,\;c+19)\) to teraz \[(a+1,\;9,\;c+19).\] **Krok \(4\).** Warunek na ciąg geometryczny daje równanie \[9^2=(a+1)(c+19),\qquad\text{czyli}\qquad (a+1)(c+19)=81.\] **Krok \(5\).** Aby zostać z jedną niewiadomą, z warunku \(a+c=10\) wyznaczamy \(c=10-a\). Wtedy \(c+19=29-a\) i równanie przyjmuje postać \[(a+1)(29-a)=81.\] **Krok \(6\).** Wymnażamy i porządkujemy: \[29a-a^2+29-a=81,\] \[-a^2+28a-52=0,\] \[a^2-28a+52=0.\] **Krok \(7\).** Liczymy wyróżnik: \[\Delta=(-28)^2-4\cdot 1\cdot 52=784-208=576,\qquad \sqrt{\Delta}=24,\] \[a_1=\frac{28-24}{2}=2,\qquad a_2=\frac{28+24}{2}=26.\] **Krok \(8\).** Do każdej wartości \(a\) dobieramy \(c=10-a\): dla \(a=2\) mamy \(c=8\), dla \(a=26\) mamy \(c=-16\). **Krok \(9\).** Sprawdzamy obie trójki. Dla \((a,b,c)=(2,5,8)\) drugi ciąg to \((3,9,27)\), czyli geometryczny o ilorazie \(3\). Dla \((a,b,c)=(26,5,-16)\) drugi ciąg to \((27,9,3)\), czyli geometryczny o ilorazie \(\frac13\). Żaden wyraz nie jest zerem, więc oba rozwiązania są poprawne. **Uwaga.** Częsty błąd to odrzucenie drugiego rozwiązania dlatego, że pojawia się w nim liczba ujemna. Nic tego nie zabrania: wyrazy ciągu geometrycznego mogą być dowolne, byle żaden nie był równy zeru. Warto to sprawdzić właśnie po to, żeby mieć pewność. **Odpowiedź.** \((a,b,c)=(2,5,8)\) lub \((a,b,c)=(26,5,-16)\).

Zadanie 5. 0—5 Obszar standardów Modelowanie matematyczne I sposób rozwiązania Sprawdzane umiejętności Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego Z własności ciągu arytmetycznego mamy: 2b = a + c . Stąd i z warunków zadania otrzymujemy, że : 2b = 10 czyli b = 5 . Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: (b + Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony Zatem otrzymujemy układ równań, np. a + c = 10 ¯ 19) Z drugiego równania wyznaczamy a = 10 — c lub c = 10—a i wstawiamy do trzeciego równanła. Otrzymujemy równanie, np. 92 lub 92 Przekształcamy to równanie i otrzymujemy równanie z niewiadomą c lub a, np. c2 +8c-128=o lub -28a+52=O. Rozwiązaniem równania są --16 lub =26. Zatem szukanymi liczbami są: a = 2, b = 5, c = 8 lub a = 26, b = 5, c = -16. Schemat oceniania do I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisanie odpowiednie{ równanła, np. • 2b = a + c albo • (b +4)2 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie ukłac równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np. 2b = a + c a+c=lO Pokonanie zasadniczych trudności zadania Przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadomą c lub a, np. c2 +8c-128=o lub -28a+52=O Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 4 p] • poprawne rozwiązanie równama kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo • przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywanil i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne 5 p] Wyznaczenie szukanych liczb: a = 2, b = 5, c =8 lub a = 26, b = 5, c = 16 II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a — pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r — różnicę tego ciągu Wówczas b = a + r, c=a+2r. Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania mamy 2a + 2r = 10 , stąd a + r = 5 Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie, np. a następnie zapisujemy układ równań: (a 19) Z pierwszego równania wyznaczamy a = 5 — r i podstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r: lub R +18-63=0. Rozwiązaniami tego równania są: = 3 lub — -21. Następnie obliczamy a, b, c. Warunki zadania spełniają liczby: a = 2, b = 5, c =8 lub a = 26, b = 5, c = 16 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania . .... 1 pkt Wprowadzenie oznaczeń: a — pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, r — różnica tego ciągu oraz wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np. 2a+2r=lO lub a +r=5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp . .... 2 pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie układu równań, np. 19) Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................3 pkt Przekształcenie układu równań do równania z niewiadomą r, np. lub +18-63=0. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)....................................................... 4 pkt • poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań, np. r < O i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo • przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np. błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste). Rozwiązanie pełne Wyznaczenie liczb spełniających warunki zadania: a = 2, b = 5, c = 8 lub Klucz punktowania odpowiedzi — poziom rozszerzony .....5 pkt

III. Modelowanie matematyczne. Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego.